§ 4. Асимптотические направления, конус асимптотических направлений, прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

Пусть вектор есть вектор асимптотического направления для поверхности второго порядка

т. е. пусть . Прямая

имеет вектор , своим направляющим вектором, т. е. есть прямая асимптотического направления. Тогда коэффициент А в уравнении (5) предыдущего параграфа равен нулю, и само это уравнение приобретает вид

Возможны следующие случаи:

1° ; тогда уравнение (3), т. е. уравнение (5) предыдущего параграфа, есть уравнение первой степени; единственный его корень определяет единственную точку пересечения поверхности (1) с прямой (2).

2° ; уравнение (3) противоречиво (так как принимает вид при уравнения (1) и (2) несовместны, прямая (2) не имеет с поверхностью (1) ни одной общей точки, ни действительной, ни мнимой. В этом случае прямая (2) называется асимптотой поверхности (1).

3° ; уравнение (3) обращается в тождество оно удовлетворяется при всех значениях t, все точки прямой (2) принадлежат поверхности (1), прямая (2) есть прямолинейная образующая поверхности (1).

Доказана следующая

Теорема 2. Прямая (2), имеющая асимптотическое направление по отношению к поверхности (1) второго порядка, может находиться в одном из следующих положений:

1° Она имеет с поверхностью (1) единственную и тогда непременно вещественную общую точку.

2° Она является асимптотой поверхности (т. е. не имеет с ней ни одной общей точки, ни вещественной, ни мнимой).

3° Она является прямолинейной образующей поверхности (т. е. всеми своими точками лежит на поверхности ).

Посмотрим теперь, каковы асимптотические направления поверхностей различных видов, определенных в предыдущей главе.

В случае эллипсоида, заданного своим каноническим уравнением асимптотические направления определяются из уравнения эти направления являются мнимыми.

Асимптотические направления однополостного и двуполостного гиперболоидов, заданных их каноническими уравнениями

суть направления образующих их общего действительного асимптотического конуса

Эллиптический параболоид

имеет асимптотические направления удовлетворяющие уравнению

Все эти направления мнимые, за исключением одного, а именио направления оси z канонической для данного параболоида системы координат. Асимптотические направления гиперболического параболоида

определяются условием

это всевозможные направления, коллинеарные какой-либо одной (или обеим) из плоскостей

Все эти направления действительны.

Все прямые, являющиеся образующими асимптотического конуса (5) обоих гиперболоидов (4), суть асимптоты каждого из этих гиперболоидов; любая другая прямая асимптотического направления пересекает двуполостный гиперболоид

в единственной точке; в случае однополостного гиперболоида имеются, кроме того, и прямолинейные образующие (известные нам из § 6 предыдущей главы).

Все действительные прямые асимптотического направления по отношению к эллиптическому параболоиду (6) параллельны между собою (они параллельны оси z) и пересекают параболоид в единственной точке; читатель легко проверит это. У эллиптического параболоида нет ни действительных асимптот, ни (как мы уже знаем из предыдущей главы) действительных прямолинейных образующих.

Прямая, имеющая асимптотическое направление по отношению к гиперболическому параболоиду (7), параллельна одной из двух плоскостей (8); она или является прямолинейной образующей (см. гл. § 6), или пересекает параболоид в одной точке, или, наконец, не имеет с ним ни одной общей точки (является его асимптотой).

Асимптотические направления конуса суть направления его образующих. Асимптот конус не имеет. Всякая прямая, имеющая по отношению к конусу асимптотическое направление и не являющаяся его образующей, пересекает его в одной точке.

Переходим к асимптотическим направлениям цилиндрических поверхностей.

1° Асимптотические направления эллиптического цилинара

суть направления удовлетворяющие условию

среди них действительным является лишь направление оси z канонической системы координат.

2° Асимптотические направления гиперболического цилиндра

суть все направления, параллельные одной (или обеим) из двух плоскостей

3° Асимптотические направления параболического цилиндра

суть все направления, параллельные плоскости Прямая, имеющая асимптотическое направление по отношению к данному цилиндру, может находиться в любом из трех положений, предусмотренных теоремой 2: эта прямая может быть образующей цилиндра, она может быть параллельной образующей и не иметь с цилиндром ни одной общей точки, наконец (в случае гиперболического и параболического цилиндров), она может пересекать поверхность в единственной точке.

Асимптотические направления поверхности, распавшейся на пару плоскостей, суть направления, параллельные одной из этих плоскостей (или им обеим).

Если все векторы, имеющие относительно данной поверхности (1) второго порядка асимптотические направления, прилагать к какой-нибудь точке за которую удобнее всего брать начало данной системы координат, то эти векторы (и их концы) заполнят коническую поверхность с вершиной если , то уравнение этой поверхности есть . Эта коническая поверхность называется конусом асимптотических направлений данной поверхности.

Если поверхность центральная, то конус асимптотических направлений с вершиной в центре данной поверхности называется просто асимптотическим конусом поверхности. Иногда это наименование употребляется и как сокращение наименования «конус асимптотических направлений», что, впрочем, достойно порицания.

Асимптотический конус гиперболоидов известен нам уже из главы XVIII;

Асимптотическим конусом эллипсоида является мнимый конус,заданный (в канонической для данного эллипсоида системе координат) уравнением . Конус асимптотических направлений параболоида

распадается в пару пересекающихся плоскостей, мнимых и сопряженных:

для эллиптического параболоида, и действительных:

для гиперболического параболоида.

Асимптотический конус конической поверхности совпадает с самой этой поверхностью. Наконец, конус асимптотических направлений

Рис. 225.

цилиндрической поверхности есть пара плоскостей — мнимых и сопряженных (пересекающихся по действительной прямой), если цилиндр эллиптический; пересекающихся действительных, если цилиндр гиперболический (рис. 225а); совпадающих (и действительных), если цилиидр параболический (рис. 225б).

Наиболее интересными среди прямых, имеющих по отношению к данной поверхности асимптотическое направление, являются прямолинейные образующие этой поверхности.

Прямая (2), проходящая через течку поверхности (1), является образующей этой поверхности, если для нее выполнены условия (условие ) выполнено автоматически: оно означает, что точка лежит на поверхности (1)).

Первое из этих условий, т. е. или

означает, что прямая (2) имеет асимптотическое направление; второе условие т. е.

означает, что прямая (2) лежит в касательной плоскости к поверхности (1) в ее точке Итак,

Теорема 3. Прямолинейные образующие поверхности (1), проходящие через точку этой поверхности, суть не что иное, как прямые асимптотического направления, проходящие через точку и лежащие в касательной плоскости к поверхности в этой ее точке.

Замечание 1. Так как мы рассматриваем прямолинейные образующие, проходящие через данную точку поверхности, то для их нахождения нам надо только определить их направляющие векторы. Но эти векторы должны удовлетворять условиям (10) и (9). Из уравнения (10) можно, вообще говоря, одну какую-нибудь координату, например у, выразить через две другие — и и подставить полученные для нее выражения в (9); после этого квадратное уравнение (9) даст нам два значения (действительных или мнимых) для отношения этим и дан способ фактического нахождения прямолинейных образующих. Так как они лежат в касательной плоскости, то они и составляют ту (распадающуюся) кривую второго порядка, по которой касательная плоскость в точке пересекается с поверхностью (1).

Рассуждеиие это делается несостоятельным, если одно из двух уравнений (9) и (10) является следствием другого, в частности, если уравнение (10) обращается в тождество, что имеет место, если поверхность (1) есть конус, а точка — его вершина: тогда

Если же поверхность распадается на пару пересекающихся плоскостей, то уравнение (9) эквивалентно двум линейным однородным уравнениям, определяющим двумерные векторные многообразия, соответствующие тем плоскостям, на которые распадается поверхность (1).

Если вектор принадлежит векторному многообразию, соответствующему той плоскости, в которой лежит точка то уравнение (10) есть следствие уравнения (9). В противном случае уравнения (9) и (10) несовместны.

Если поверхность нераспадающаяся и (в случае, когда она конус) точка не есть вершина конуса, то все обстоит благополучно, в чем читатель легко может убедиться, перейдя к каноническим уравнениям соответствующих поверхностей. Подробнее об этом будет сказано в § 5 главы ХХIII. Полное исследование случая певырождающейся поверхности дается следующим предложением.

Теорема 4. Касательная плоскость к певырождающейся поверхности второго порядка в данной ее точке пересекается с этой поверхностью по паре различных прямых. Эти прямые и являются единственными двумя образующими поверхности, проходящими через точку

Доказательство. Возьмем систему координат, началом которой является данная точка а плоскостью — касательная плоскость к нашей поверхности в точке Так как начало координат лежит на поверхности, то ее уравнение в выбранной системе координат будет иметь вид

(свободный член равен нулю). Уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

Но эта плоскость есть плоскость Значит,

Так как то равенства (11) означают, что так что уравнение поверхности имеет вид

Решая его совместно с уравнением получаем для кривой пересечения нашей поверхности с (касательной) плоскостью уравнение

Это — уравнение распадающейся кривой второго порядка. Если бы эта кривая была нарой совпадающих прямых, то было бы

Но тогда

и поверхность (1), вопреки предположению, была бы вырождающейся. Теорема 4 доказана. Из нее вытекает такое

Следствие. Касательная плоскость к певырождающейся поверхности второго порядка в произвольной ее точке пересекает эту поверхность по паре различных прямых, действительных или мнимых сопряженных, а именно по паре проходящих через точку прямолинейных образующих данной поверхности. Эти прямые имеют асимптотические для данной поверхности направления. Они действительны. если поверхность есть однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид; они являются мнимыми для двуполостного гиперболоида и эллиптического параболоида, а также и для эллипсоидов.

Замечание 2. Аналитическим критерием для того, будут ли прямолинейные образующие, проходящие через иеособую точку вещественной нераснадающейся поверхности, действительными различными, мнимыми сопряженными или, наконец, действительными совпадающими, может служить знак детерминанта : при образующие действительны, при они мнимые, при они совпадают.

В самом деле, из инвариантности знака детерминанта многочлена второй степени с тремя переменными относительно перехода от одной аффинной системы координат к другой вытекает, что если , то соответственно Поэтому, если то и

Линия пересечения поверхности () с касательной плоскостью определяемая уравнением (12), есть пара прямых, проходящих через вещественную точку и так как то в этом случае линия (12) распадается на пару вещественных прямых.

Точно так же покажем, что если , а следовательно и , — число отрицательное, то уравнение (12) определяет пару мнимых прямых.

Предположим, наконец, что и, значит, тогда из равенства , вытекает, что так как если бы то уравнение (1) определяло бы коническую поверхность с вершиной в начале координат О, т.е. в точке а мы предположили, что точка — неособая, следовательно, и уравнение (12) определяет пару слившихся прямых.

Существенно отметить, что вопрос о том, является ли пересечение нерасиадающейся поверхности второго порядка с касательной плоскостью к ней в данной неособой точке парой действительных (различных или совпадающих) или мнимых прямых, решается для всех неособых точек поверхности одинаково; мы увидим, что решение этого вопроса вполне определяется аффиннымх) классом данной поверхности.

Геометрическая характеристика асимптотических и неаси митотических направлений для данной поверхности второго порядка. Совершенно так же, как в случае кривых, мы доказываем следующее предложение, аналогичное теореме 6 главы XVII (§ 5).

Теорема 5. Пусть

— поверхность второго порядка, не все точки которой лежат в одной плоскости. Если - направление, неасимптотическое для данной поверхности, то существует прямая этого направления, содержащая ровно две различные точки поверхности (1). Напротив, всякая прямая, имеющая асимптотическое для данной поверхности (1) направление или целиком состоит из точек, лежащих на поверхности (1), или же содержит не более одной точки, лежащей на поверхности (1).

Надо доказать лишь утверждение, касающееся неасимитотического направления . Через каждую точку лежащую на поверхности (1), проводим прямую

направления . Требуется доказать, что не все эти прямые являются касательными к поверхности (1). Предположим противное: пусть каждая прямая (2) касается поверхности (10 в соответствующей точке . Тогда имеет место равенство

Среди коэффициентов при крайней мере один отличен от нуля; в противном случае мы бы имели одновременно

Умножая эти равенства соответственно на и складывая, мы бы получили

т. е. направление было бы, вопреки нашим предположениям, асимптотическим.

Итак, равенство

представляет собою уравнение первой степени относительно которому удовлетворяют все точки лежащие на поверхности (1). Все эти точки лежат, таким образом, на плоскости, определяемой уравнением (13), — вопреки предположению. Теорема доказана.