ГЛАВА XXI. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ

§ 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой

Множество всех прямых и плоскостей трехмерного пространства, проходящих через данную точку О, называется связкой с центром О или, кратко, связкой О. Возьмем какую-нибудь плоскость не проходящую через точку О. Тогда через каждую точку М плоскости проходит единственная прямая связки О. Прямые связки будем называть лучами, Таким образом, установлено соответствие, называемое перспективным соответствием, между всеми точками плоскости и лучами связки О.

Рис. 226.

При перспективном соответствии каждой прямой d, лежащей в плоскости , соответствует некоторая вполне определенная плоскость езязки — плоскость , проходящая через точку О и прямую d. Плоскость эта образована всеми лучами, идущими из точки О в точки прямой d; мы будем ее обозначать через (рис. 226).

Итак, при перспективном соответствии точкам плоскости соответствуют лучи связки О, а прямым плоскости — плоскости связки О.

Назовем луч и плоскость связки О инцидентными между собою, если данный луч лежит в данной плоскости. Точно так же назовем точку и прямую на плоскости инцидентными между собою, если данная точка лежит на данной прямой. Очевидно, при перспективном соответствии между связкой О и плоскостью инцидентность сохраняется: если на плоскости точка М инцидентна прямой d, то соответствующие луч ОМ и плоскость связки будут также инцидентны между собою, и обратно.

Возникает вопрос: является ли перспективное соответствие между плоскостью и связкой О взаимно однозначным? Другими словами, каждый ли луч связки О соответствует некоторой точке М плоскости ?

Легко видеть, что этой взаимной однозначности нет: лучи связки, параллельные плоскости не соответствуют при перспективном соответствии никакой точке плоскости , а плоскость связки, параллельная плоскости , не соответствует никакой прямой плоскости . Для сокращения речи назовем особым лучом связки луч, параллельный плоскости , а особой плоскостью связки назовем единственную плоскость, принадлежащую этой связке и параллельную плоскости . Особые лучи и особая плоскость связки не соответствуют никаким точкам и никакой прямой плоскости . В каждой неособой плоскости связки имеется единственный особый луч (по которому эта плоскость пересекает особую плоскость связки), и особые лучи заполняют всю особую плоскость связки.

Посмотрим, в каком случае две плоскости связки пересекаются по особому лучу (рис. 227). Так как особый луч связки не имеет общих точек с плоскостью , то плоскости не могут иметь общих точек, принадлежащих плоскости , т. е. прямые d и , лежащие в плоскости , не имеют никакой общей точки, следовательно, они параллельны. Обратно, если две прямые d и в плоскости параллельны, то соответствующие им плоскости не могут иметь общих точек, лежащих в плоскости т. е. луч, по которому плоскости пересекаются, параллелен плоскости , он является особым лучом. Итак, две плоскости связки О тогда и только тогда пересекаются по особому лучу, когда соответствующие им прямые параллельны.

Рис. 227.

Представляется естественным пополнить плоскость новыми — «несобственными», или «бесконечно удаленными» точками, образующими несобственную, или бесконечно удаленную, прямую, и поставить их в соответствие с особыми лучами связки так, чтобы перспективное соответствие между связкой и пополненной плоскостью было уже взаимно однозначным. На введенные таким образом несобственные элементы мы распространим понятие инцидентности, считая, что данная обыкновенная (собственная) прямая d плоскости инцидентна несобственной точке тогда и только тогда, когда особый луч, которому точка соответствует, инцидентен плоскости несобственная прямая, по определению, инцидентна любой несобственной точке. Итак, при перспективном (теперь уже взаимно однозначном) соответствии между пополненной плоскостью и связкой отношение инцидентности сохраняется.

Таким образом, пополнение плоскости несобственными элементами (несобственными точками и несобственной прямой) происходит при соблюдении следующих условий:

1° Каждая прямая d плоскости пополняется единственной несобственной точкой (соответствующей единственному особому лучу плоскости ).

2° Две прямые плоскости тогда и только тогда имеют общую несобственную точку, когда они параллельны (т. е. тогда и только тогда, когда плоскости имеют общий особый луч).

3° Совокупность всех несобственных точек плоскости образует несобственную прямую (совокупность всех особых лучей связки образует особую плоскость этой связки).

Пополненная несобственными точками и несобственной прямой плоскость я называется проективной плоскостью; мы будем ее обозначать через Перспективное соответствие между проективной плоскостью и связкой есть взаимно однозначное соответствие между точками и прямыми плоскости, с одной стороны, и лучами и плоскостями связки, с другой стороны; это соответствие сохраняет инцидентность.

Из условий 1°, 2°, 3°, которым подчинено пополнение плоскости несобственными точками, вытекают следующие два свойства проективной плоскости:

А. Всякие две прямые проективной плоскости пересекаются в одной точке.

В самом деле, если прямые собственные и если на первоначальной обыкновенной плоскости они пересекаются в точке М, то эта же точка М является и точкой пересечения прямых d и на проективной плоскости так как несобственное точки пересекающихся прямых различны, то точка М есть единственная общая точка прямых на проективной плоскости.

Если прямые d и , рассматриваемые на обыкновенной плоскости параллельны между собою, то на проективной плоскости они имеют одну и ту же несобственную точку, и она является их единственной общей точкой.

Наконец, несобственная прямая пересекается со всякой собственной прямой в несобственной точке этой последней.

Предложение А можно сформулировать так: для всяких двух различных прямых проективной плоскости имеется единственная точка, которой обе эти прямые инцидентны.

Этому предложению как бы двойственно предложение

Б. Для всяких двух различных точек на проективной плоскости имеется единственная прямая, которой обе эти точки инцидентны.

Или: через каждые две точки плоскости проходит одна и только одна прямая. Это известно, если точки собственные. Предположим, что даны две точки А и В, из которых одна, положим А, собственная, а другая В — несобственная. Точка В есть несобственная точка некоторой прямой и всех прямых, параллельных прямой Поэтому, проведя через точку А прямую параллельную прямой (а такая прямая единственная), мы и получим прямую, инцидентную собственной точке А и несобственной точке В.

Наконец, единственная прямая, инцидентная двум несобственным точкам, есть несобственная прямая.

Аналитически пополнению плоскости несобственными точками соответствует введение так называемых однородных координат, к которому мы сейчас и переходим