§ 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно координатной системы с сопряженными направлениями осей

Пусть дана поверхность второго порядка. Возьмем прямую d, направление которой не асимптотично относительно данной поверхности. Если поверхность центральная, то предполагаем, кроме того, что прямая d проходит через центр поверхности. Плоскость сопряженная направлению прямой d, не может быть параллельной прямой d (так как неасимптотическое направление не компланарно сопряженной ему плоскости). Плоскость пересекает прямую d и некоторой точке О, которую и объявим началом новой координатной системы. При этом, если поверхность центральная, то О — ее центр. Осью z сделаем прямую d, а остальные две оси возьмем в плоскости

Плоскость будучи плоскостью нашей координатной системы, имеет уравнение

Пусть в выбрашюй нами координатной системе уравнение данной поверхности есть

Так как плоскость (1) сопряжена вектсру то ее уравнение в нашей системе координат должно быть

т. е.

Так как уравнения (1) и (3) определяют одну и ту же плоскость, то непременно

Мы доказали следующее предложение:

Если координатная система выбрана так, что ее ось z имеет направление, не асимптотическое относительно данной поверхности второго порядка, а плоскость является сопряженной к направлению оси относительно той же поверхности, то в этой системе координат данная поверхность имеет уравнение вида

(4)

где

Пусть теперь наша поверхность центральная. Тогда в уравнении (4) имеем . От осей мы требовали пока только, чтобы они лежали в плоскости, сопряженной направлению оси . Теперь мы можем, кроме того, потребовать, чтобы ось имела неасимптотическое направление. Сопряженную ей плоскость (она проходит через ось z, так как направления осей сопряжены) объявим плоскостью так что ось у, как пересечение плоскостей будет сопряжена и оси z, и оси х; и так, все три оси координат имеют теперь попарно сопряженные направления. Плоскость будучи сопряжена вектору имеет уравнение

так

Теорема 1. Уравнение центральной поверхности в системе координат, направления осей которой попарно сопряжены между собою, имеет вид

Таков (при ) геометрический смысл «приведения квадратичной формы к каноническому виду».

Основным приложением только что полученного результата является «теорема единственности», доказанная в следующем параграфе.