§ 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов

1. Центральные поверхности (поверхности с единственным центром). Докажем, что:

Всякая плоскость, проходящая через (единственный) центр поверхности второго порядка

является диаметральной плоскостью, сопряженной некоторому однозначно определенному направлению .

Доказательство. Предположим, что начало координат находится в центре поверхности. Тогда уравнение поверхности записывается в виде

а уравнение данной плоскости, проходящей через виде

Для определения направления для которого эта плоскость является сопряженной, надо решить систему уравнений

что и делается однозначно ввиду того, что детерминант этой системы есть

2. Поверхности с прямой центров и с плоскостью центров.

Поверхности с прямой центров суть «центральные цилиндры», т. е. цилиндры над некоторой центральной (быть может, распадающейся) кривой второго порядка. В надлежаще выбранной аффинной системе координат уравнение такой поверхности имеет вид

Единственным особым направлением поверхности (2) является (как показывает непосредственная проверка) направление вектора т. е. направление оси z выбранной координатной системы.

В этой же координатной системе уравнение диаметральной плоскости, сопряженной направлению есть

Итак, всякая плоскость, проходящая через прямую центров, и только такая плоскость является диаметральной плоскостью нашей поверхности, а направление прямой центров есть (единственное) особое направление.

Мы знаем (предложение VI § 1), что всяким двум направлениям, лежащим в некоторой плоскости, параллельной особому направлению поверхности второго порядка, сопряжены диаметральные плоскости, параллельные между собою. В данном случае для поверхности (2) эти плоскости совпадают: два направления, не коллинеарные (единственному) особому направлению поверхности (2), т. е. направлению оси z, лежащие в плоскости, параллельной оси z, задаются векторами вида

где по крайней мере одно из чисел отлично от 0. Обоим этим направлениям сопряжена относительно поверхности (2) диаметральная плоскость (знаки при соответствуют знакам при в уравнении ). Конус асимптотических направлений поверхности распался на пару действительных плоскостей

Каждому направлению, лежащему в одной из этих плоскостей и коллинеарному оси z, например направлению лежащему в плоскости сопряжена сама эта плоскость.

Если поверхность (1) имеет плоскость центров, то эта плоскость и является единственной диаметральной плоскостью поверхности (1) (так как всякая диаметральная плоскость должна содержать все центры поверхности). Все направления, параллельные плоскости центров, являются особыми.

Поверхность, имеющая плоскость центров, распадается на пару параллельных плоскостей; сама плоскость центров есть средняя плоскость между двумя плоскостями, составляющими данную поверхность; направления, параллельные этим плоскостям, суть асимптотические для нашей поверхности; все они особые.

Остается рассмотреть тривиальный случай двух слившихся плоскостей . Здесь каждая точка плоскости есть центр поверхности, значит, имеется одна - едннственная диаметральная плоскость — сама плоскость . Она есть геометрическое место всех хорд поверхности, каждая из которых вырождается в пару своих слившихся концов (и определяется прямой, не параллельной плоскости ).

Все направления, параллельные плоскости , являются особыми.

3. Поверхности без центров. Малый ранг такой поверхности равен или двум (параболоиды), или единице (параболический цилиндр).

Мы уже видели, что единственным особым направлением параболоида (гиперболического или эллиптического) является направление прямой пересечения d тех двух плоскостей на которые распался конус асимптотических направлений параболоида.

В силу предложения V всякая диаметральная плоскость параболоида параллельна этой прямой d. Докажем, что обратно, всякая плоскость параллельная единственному особому направлению параболоида, является его диаметральной плоскостью.

Для этого воспользуемся уравнениями

и

соответственно эллиптического и гиперболического параболоидов в надлежаще выбранной (аффинной) системе координат.

Диаметральная плоскость, сопряженная направлению будет в той же системе координат иметь уравнение

соответственно

Очевидно, всякая плоскость, параллельная оси z, может быть при надлежаще подобранных задана каждым из этих уравнений, причем различным направлениям сопряжены различные диаметральные плоскости.

Итак, диаметральными плоскостями параболоида являются все плоскости, параллельные (единственному) особому направлению параболоида, и только они.

Замечание 1. Из доказанного следует, что всякая плоскость, параллельная диаметральной плоскости параболоида, сама является диаметральной плоскостью этого параболоида.

Замечание 2. Пусть поверхность (1) есть параболоид. Наряду с нею будем рассматривать пару плоскостей на которые распался конус асимптотических направлений

параболоида (1). Обе поверхности (1) и (5) имеют, очевидно, одни и те же асимптотические и одно и то же (единственное) особое направление. Легко проверить также, что плоскости, сопряженные относительно поверхностей (1) и (5) одному и тому же направлению параллельны (коэффициенты L, М, N в уравнениях этих плоскостей будут одни и те же). Но мы видели, что для поверхности (5) плоскостью, сопряженной асимптотическому направлению, лежащему в дайной плоскости будет сама эта плоскость Поэтому диаметральная плоскость параболоида (1), сопряженная (неособому) асимптотическому направлению параллельна той из двух плоскостей которая несет на себе направление .

Переходим к параболическим цилиндрам. Конус асимптотических направлений параболического цилиндра

вырождается в пару совпадающих плоскостей

(«дважды взятая» плоскость ).

Так как у параболического цилиндра имеется двумерное многообразие особых направлений, то все асимптотические направления параболического цилиндра являются особыми.

Докажем, что диаметральными плоскостями параболического цилиндра (6) являются все плоскости, параллельные плоскости и только они.

Это непосредственно следует из того, что плоскость, сопряженная направлению относительно поверхности (6), имеет уравнение