Задачи к главе VIII

Задача 31. На плоскости даны две системы координат с общим началом О и единичными векторами у первой системы и у второй системы, причем эти векторы связаны соотношениями

т. е.

Найти формулы перехода от одной системы координат к другой, если .

Решение. Пусть — произвольный вектор, имеющий в первой системе координаты X, Y, а во второй системе координаты X, Y. Тогда

Умножая это равенство скалярно сначала на а затем на получим

или

Отсюда найдем выражения старых координат через новые:

Задача 32. Найти формулы перехода от одной прямоугольной системы координат в пространстве к другой прямоугольной системе, если начала этих систем различны, а концы единичных векторов-реперов совпадают,

Решение. Начала О и О обеих систем находятся в точках, симметричных относительно плоскости, проходящей через общие концы А, В, С их единичных векторов. Точки А, В, С в обеих системах имеют координаты!

а плоскость, проходящая через точки А, В, С, определяется уравнением

в первой системе,

во второй системе.

Начало второй системы О имеет в первой системе координаты единичные векторы второй системы имеют относительно первой системы следующие координаты:

Поэтому для координат точек в одной системе мы получаем следующие выражения через координаты во второй системе:

Задача 33. Новые оси координат относительно старой системы заданы соответственно уравнениями

Найти формулы, выражающие новые координаты х, у произвольной точки через ее старые координаты х, у.

Какой вид примут эти формулы, если точке Е, имеющей в старой системе координаты приписать в новой системе координаты 1, 1?

Решение. Формулы, выражающие новые координаты х, у через старые координаты х, у, имеют вид

Отсюда видно, что когда

Так как, с другой стороны, прямая

должна быть осью то для ее точек Следовательно, уравнения

и

выражают одну и ту же прямую а это возможно лишь в том случае, если коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого, т. е. если

Поэтому при всех значениях у выполняется тождество

Точно так же можно показать, что

Отсюда следует, что искомые формулы преобразования координат могут быть записаны в следующем виде:

Значения определяются выбором единичных векторов на осях

Если какой-нибудь точке Е, не лежащей ни на одной из данных прямых и имеющей в старой системе координаты приписать координаты 1, 1 в системе то для получим соответственно значения

Формулы преобразования координат в этом случае принимают вид

Задача 34. Относительно прямоугольной системы координат даны уравнения двух взаимно перпендикулярных прямых:

Принимая эти прямые за новые оси прямоугольной системы координат и выбирая за положительное направление оси направление вектора а за положительное направление оси направление вектора формулы, выражающие новые координаты произвольной точки плоскости через ее старые координаты.

Решение. Так как прямоугольные координаты точки по абсолютной величине равны расстояниям этой точки до осей координат, то

Но для точек, лежащих по ту же сторону от прямой

где находится конец вектора отложенного от точки О, должно быть . С другой стороны, для точек этой полуплоскости

Для точек другой полуплоскости оба числа должны выть отрицательны. Поэтому окончательно имеем

и точно так же