§ 2. Линейные операции над векторами (сложение и умножение на число)

1. Сложение векторов.

Пусть даны свободные векторы их и . Прилагаем вектор их к какой-нибудь точке О, получаем ; прилагаем к точке А; получаем . По определению вектор называется суммой векторов их и (рис. 6), т. е.

Для векторов, лежащих на прямой, эти определения нам уже известны (гл. 1, § 4).

Замечание1. Единственный элемент произвола, содержащийся в этом определении, есть выбор точки О — точки приложения вектора .

Рис. 6.

Рис. 7.

Прилагая вектор к какой-нибудь другой точке О (рис. 7), получим сектор построим вектор вектор АВ, очевидно, равен вектору АВ: он получается из ОВ сдвигом на вектор .

Если дан вектор , то на прямой , проходящей через точки О и А, можно построить вектор (рис. 8).

Рис. 8.

Всякий вектор, равный вектору ОА, также обозначаем через — . Очевидно, для любого вектора .

Если рассматривать свободные векторы и на как сдвиги пространства, то нулевой вектор 0 есть тождественное преобразование (нулевой сдвиг) пространства, а свободный вектор и» есть сдвиг, получаемый в результате последовательного осуществления сначала сдвига их и потом сдвига .

Свободный вектор — и при любом и есть сдвиг, противоположный сдвигу и (так есть нулевой сдвиг 0).

Замечание 2. Следующие формулы, очевидно, верны для любого вектора :

Замечание 3. Как ясно из рис. 9, при — их предыдущее определение суммы двух векторов их и можно сформулировать и так: приложим оба вектора к одной и той же точке О, так что

Тогда есть вектор ОС — диагональ параллелограмма, построенного на сторонах их и .

Так как этот параллелограмм и его диагональ ОС не зависят от того, в каком порядке даны векторы их и , то сложение векторов коммутативно:

Докажем, что сложение векторов ассоциативно, т. е. что для любых трех векторов имеем

В самом деле, если (рис. 10), то

т. е. и есть вектор , так называемый замыкающий вектор последовательности трех векторов .

Рис. 9.

Ассоциативность сложения векторов позволяет говорить о сумме трех векторов , понимая под этим вектор

По индукции может быть определена и сумма любого числа векторов

причем из ассоциативности следует, что, например, в случае четырех векторов имеем

При этом в силу коммутативности можно произвольно менять порядок слагаемых.

Из сказанного вытекает следующее удобное на практике правило сложения любого числа векторов («правило замыкающего вектора»). Для того чтобы сложить данные векторов, надо записать их в любом порядке:

приложить первый вектор к какой-нибудь точке О, а каждый следующий вектор — к концу предыдущего, так что

Тогда сумма есть замыкающий вектор . Разность двух векторов их и определяется формулой

При этом — уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности .

Замечание 4. Мы видели, что диагональ ОС (см. рис. 9) параллелограмма, построенного на векторах их — ОА и , равна сумме этих векторов.

Рис. 10.

Аналогично (рис. 13) диагональ ОС параллелепипеда , построенного на трех векторах , приложенных к одной точке и не лежащих в одной плоскости, есть сумма этих векторов.

Рис. 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

В самом деле, очевидно, , откуда и следует утверждение (оно следует и из того, что вектор ОС есть замыкающий вектор к трем векторам — ).

2. Умножение вектора на число.

Умножение вектора на число состоит в следующем.

В § 2 главы 1 уже было определено, что если и , то есть всякий вектор, равный вектору АС, лежащему на прямой АВ, и определенный условием, что его отношение к вектору АВ равно X (рис. 14); если , то .

Рис. 14.

Из этого определения следует, в частности, что для любого вектора и имеем

Для любых двух чисел и любого вектора и имеют место формулы:

Наконец, для любых двух векторов и любого числа имеем

Геометрическое доказательство всех этих формул может быть представлено читателю в виде упражнения (более канительного — разбор всех возможных случаев, — чем трудного).

Выражение

где , — векторы, а какие-нибудь вещественные числа, называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами . При получаем просто вектор вида .