§ 4. Принцип двойственности для проективной плоскости

Вернемся к условию инцидентности

точки и прямой

Поставим в соответствие каждой точке проективной плоскости прямую с теми же координатами наоборот, прямой точку т. е. сделаем взаимно однозначное отображение множества всех элементов (точек и прямых) проективной плоскости на себя, записывающееся в виде

Тогда имеет место следующий очевидный и тем не менее замечательный факт.

Отображение (2) сохраняет отношение инцидентности, т. е. переводит точку и прямую инцидентные между собою, в прямую и точку по-прежнему инцидентные между собою.

В самом деле, условие инцидентности (1) не зависит от того, считаем ли мы тройки тройками координат точки и прямой или, наоборот, прямой и точки, т. е. не зависит от того, какую из двух троек мы заключаем в круглые, а какую — в фигурные скобки.

Непосредственным следствием этого факта является следующий

Принцип двойственности для проективной плоскости. Пусть верно какое-нибудь предложение, касающееся точек, прямых и отношения инцидентности между ними.

Тогда будет верно и двойственное предложение, получаемое, если в данном предложении поменять слова «прямая» и «точка».

В самом деле, речь идет о предложении, которое может заключаться лишь в утверждении инцидентности таких-то прямых и таких-то точек Эти утверждения выражаются в тождествах вида (1), в которых ничего не изменится, если мы в формулировке нашего предложения заменим прямые точками, а точки — прямыми (т. е. заменим фигурные скобки круглыми и наоборот).

Прежде чем приводить примеры взаимно двойственных предложений, сделаем следующее общее замечание.

В плоской аффинной геометрии точки и прямые не были равноправны: плоскость состояла из точек, а прямые определялись как множества точек, координаты которых удовлетворяли уравнениям первой степени.

Теперь мы можем стать на другую точку зрения: и прямые и точки суть совершенно равноправные геометрические объекты, и те и другие взаимно однозначно соответствуют классам числовых троек; эти геометрические объекты связаны между собою основным отношением инцидентности, выражающимся условием (1). Если мы в (1) будем считать прямую данной, то равенство (1) является уравнением, определяющим множество точек, инцидентных данной прямой. Если же мы в равенстве (1) будем считать данной точку то оно превращается в уравнение, определяющее множество всех прямых инцидентных данной точке, т. е. пучок прямых с центром в данной точке. С таким же правом, как мы раньше считали первоначальным понятие точки, а прямую определяли как множество точек, удовлетворяющих уравнению (1), мы могли бы считать первоначальным понятие прямой и определять точку как множество инцидентных ей прямых (как пучок прямых), удовлетворяющих тому же уравнению (1). Свое полное выражение это равноправие точек и прямых проективной плоскости и находит в сформулированном выше принципе двойственности.

Приведем примеры двойственных в указанном смысле предложений; их доказательства будут тоже «двойственны»: одно получится из другого, если в каждый момент доказательства слово «прямая» заменить словом «точка» с сохранением каждый раз отношений инцидентности.

Теорема 1. Ко всяким двум различным точкам А, В имеется единственная прямая, им инцидентная; она обозначается через АВ (или просто через АВ).

Теорема 1'. Ко всяким двум различным прямым а и b имеется единственная точка, им инцидентная; она обозначается через (или просто через ).

Доказательство Пусть суть две данные различные

Мы ищем всевозможные

инцидентные двум данным

Искомые удовлетворяют условиям

откуда следует, что

т. е. что координаты определены с точностью до пропорционального множителя однозначно; значит, существует единственная

инцидентная данным двум

Замечание. Теорема 1 выражает хорошо известный читателю из школьного курса геометрии факт: через всякие две различные точки проходит одна и только одна прямая. Двойственная теореме 1 теорема 1 в более привычной формулировке звучит так: всякие две различные прямые пересекаются в одной точке, собственной или несобственной; в собственной точке они пересекаются тогда, когда пересекаются на обычной (не пополненной несобственными точками) плоскости, в несобственной — тогда, когда они на обычной плоскости параллельны. На проективной плоскости параллельных прячык нет.

Вернемся к доказательству теорем 1 и 1. Единственная прямая (точка), инцидентная двум данным точкам (прямым) имеет координаты, определяемые формулами (5):

Если суть две различные точки, то прямая (5) есть прямая двум точкам инцидентная; ее уравнение есть

где даны пропорцией (5), так что уравнение (6) можно переписать в виде

Уравнение (6) или (7) есть уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек, инцидентных прямой Это уравнение (7) выражает тот факт, что первая строка матрицы

есть линейная комбинация второй и третьей, т. е. что

Давая параметрам и всевозможные числовые значения (кроме запрещенной пары значений будем получать по формулам (8) тройки однородных координат всевозможных точек М прямой АВ. Очевидно при этом, что двум пропорциональным парам будут соответствовать пропорциональные тройки Обратно, если формулы (8) определяют для данных значений соответственно одну и ту же точку, т. е. две пропорциональные тройки то пары пропорциональны; . В самом деле, пусть . Тогда

т. е.

откуда следует, что или или тройки пропорциональны и, значит, точки А и В совпадают между собою — вопреки предположению.

Итак, точки прямой взаимно однозначно соответствуют классам пропорциональных пар значений параметров поэтому система уравнений (8) называется системой параметрических уравнений или, для краткости, просто параметрическим уравнением прямой АВ. Однако следует помнить, что для того, чтобы написать эту систему уравнений, надо не только знать самые точки А, В, определяющие нашу прямую, но и выбрать среди троек однородных координат этих точек определенную тройку соответственно .

Если суть две различные прямые, то формулы (5) определяют их точку пересечения Уравнение (6) или (7) есть уравнение (относительно которому удовлетворяет любая тройка координат всякой прямой инцидентной точке (т. е. проходящей через эту точку); другими словами, уравнение (7) есть уравнение пучка прямых с центром Уравнения (8) образуют систему параметрических уравнений этого пучка; они выражают давно известный нам факт, что каждая прямая пучка есть линейная комбинация двух каких-нибудь прямых этого пучка.

Из доказанного вытекает

Следствие. Пусть суть произвольные тройки координат каких-нибудь трех

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы эти три

были инцидентны одной и той же

является равенство (7), т. е. выражаемая им линейная зависимость между (произвольными) тройками координат

данных трех точек.

Дальнейшим примером двух двойственных между собою предложений может служить знаменитая теорема Дезарга.

Теорема 2. Пусть на плоскости даны два треугольника; вершины и стороны одного треугольника обозначим соответственно через (так что) и вершины и стороны второго треугольника обозначим аналогично через (снова и т. д.). Предположим, что не совпадают никакие две соответственные вершины и никакие две соответственные стороны этих прямоугольников. Тогда имеют место следующие двойственные друг другу предложения (рис. 230):

Если три

инцидентны одной и той же

то

инцидентны одной и

Читатель легко убедится в том, что эти две теоремы не только взаимно двойственны, но и взаимно обратны. Достаточно доказать одну из них. Докажем «правую» теорему.

Предположим, что на плоскости введены однородные координаты. Обозначим какую-нибудь тройку координат точек А, В, С, А, В, С соответственно через По предположению три прямые АА', ВВ', СС' инцидентны одной и той же точке Q. Пусть — какая-нибудь тройка координат этой точки. Так как три точки A, A', Q коллинеарны, то три тройки линейно зависимы, а так как тройки (будучи тройками координат различных точек А и ) не пропорциональны, т. е. линейно независимы между собою, то тройка есть линейная комбинация троек . По тем же соображениям тройка со есть линейная комбинация троек а также и .

Итак, мы имеем тождества

из которых следует:

Обозначая тройку через тройку через и тройку а через замечаем, что тройка будучи линейной комбинацией троек (т. е. координатных троек точек В и С), есть тройка координат некоторой точки прямой ВС. Но тройка есть в то же время и линейная комбинация троек т. е. координатных троек точек С и В. Поэтому точка , одной из координатных троек которой является тройка является не только точкой прямой ВС, но и точкой прямой ВС — точка Р есть точка пересечения прямых Аналогично точка Q, определенная координатной тройкой есть точка пересечения прямых СА и СА, а точка R, определенная координатной тройкой , есть точка пересечения прямых АВ и АВ. Складывая почленно равенства (9), имеем

где — тройка, состоящая из одних нулей. Итак, координатные тройки точек линейно зависимы, следовательно, точки коллинеарны, что и требовалось доказать.

Рис. 230.