§ 4. Пересечение кривой второго порядка с прямой иеасимптотического направления. Касательные

Берем снова кривую второго порядка, заданную (в произвольной аффинной системе координат) уравнением

где

Введем еще следующие обозначения:

Решая уравнение (1) совместно с уравнением данной прямой

получим (в качестве уравнения (3) из § 1) уравнение

где, как показывает легкий подсчет,

Мы теперь предполагаем, что

так что уравнение (3) имеет два (различных или совпадающих) корня Пусть тогда прямая (2) пересекает кривую (1) в двух совпадающих точках и называется касательной к этой кривой: обе точки пересечения слились в одну точку касания. Для нахождения уравнения касательной удобно взять за точку прямой (2) как раз ту точку, которая принадлежит и кривой (1), и прямой (2). Тогда

и уравнение (3) принимает вид

оно имеет корень . Если в точке сливаются обе точки пересечения кривой (1) и прямой (2), то оба корня уравнения (3) совпадают и равны нулю. А это может случиться лишь при

откуда

Следовательно, уравнение (2) касательной, переписанное в виде

получает вид

или

где

Подставляя в (5) эти значения раскрывая скобки и принимая во внимание, что переписываем уравнение (5) в виде

Замечание. Для нераспадающихся кривых второго порядка (для которых ) не могут одновременно обратиться в нуль) уравнение касательной в виде (5) совпадает с уравнением, даваемым в курсах анализа: ведь

Из уравнения (5) видим, что угловой коэффициент касательной есть

В случае эллипса

Уравнение (6) касательной в точке получает вид

что и является самой удобной формой уравнения касательной к эллипсу в его точке .

Аналогично в случае гиперболы

из (6) получаем

Для параболы

уравнение (6) касательной в точке имеет вид

или, после очевидных преобразований,