§ 8. Расстояние от точки до прямой (на плоскости)

Под расстоянием от точки плоскости до прямой d, лежащей в этой плоскости, понимается длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

Теорема 5. Пусть в плоскости, снабженной прямоугольной системой координат, задана прямая d своим нормальным уравнением

Тогда расстояние произвольной точки от прямой d равно числу

Доказательство. Через точку проведем прямую d, параллельную прямой d (рис. 72), и рассмотрим ось, несущую приложенный к началу координат орт эта ось перпендикулярна к обеим прямым d и и пересекает их соответственно в точках N и .

Длина вектора , равная модулю его алгебраического значения () (на определенной выше оси), и есть искомое расстояние между точкой и прямой :

Но по лемме Шаля имеем (на той же оси)

еще

Внося эти значения в (2), получаем

что и требовалось доказать.

Рис. 72.

Если прямая d дана своим общим уравнением

то для определения ее расстояния от точки надо сначала привести уравнение прямой к нормальному виду, т. е. умножить обе его части на . В результате получается формула