§ 7. Директрисы эллипса и гиперболы

Директрисой эллипса (гиперболы), соответствующей данному фокусу F, называется прямая d, перпендикулярная к фокальной оси кривой, отстоящая от центра на расстояние у- и лежащая по ту же сторону от центра, что и фокус F (рис. 91 и 92).

Таким образом, и у эллипса (не являющегося окружностью), и у гиперболы — две директрисы.

Если взята каноническая для данной кривой прямоугольная система координат, то уравнение директрис (соответствующих, фокусам будет соответственно

Для эллипса , поэтому директрисы эллипса удалены от центра на расстояние, большее , т. е. расположены за пределами основного прямоугольника (см. рис. 91).

Рис. 91.

Для гиперболы , поэтому директрисы гиперболы удалены от ее центра на расстояние, меньшее а, они пересекают основной прямоугольник и проходят между центром и соответствующей вершиной гиперболы (см. рис. 92).

, что расстояние А директрисы от соответствующего ей фокуса есть

1) в случае эллипса

2) в случае гиперболы

Итак, для эллипса и для гиперболы имеем

Если в случае гиперболы (при данном а) фокусное расстояние с, а значит, и эксцентриситет увеличиваются, то (острый) угол между асимптотами уменьшается, а директрисы все более приближаются ко второй оси (и сближаются между собою).

Рис. 92.

Если в случае эллипса (при данном а) фокусное расстояние с, а значит, и эксцентриситет уменьшаются, то эллипс становится все более похожим на окружность, а его директрисы уходят все дальше и дальше от второй оси (и друг от друга). Наконец, для окружности и директрисы исчезают («уходя в бесконечность») - окружность не имеет директрис.

Пусть дан какой-нибудь эллипс или гипербола С; один из фокусов кривой С обозначим через F, соответствующую ему директрису — через d. Для произвольной точки М обозначим через расстояние этой точки М от точки F, через -расстояние точки М от прямой d. Докажем, что для всех точек М кривой С имеем

Достаточно доказать это равенство для случая, когда первый (левый) фокус (система координат — каноническая).

Тогда имеем

откуда

Итак, равенство (3) имеет место для всех точек кривой С. Докажем обратное утверждение: если для какой-нибудь точки плоскости выполнено равенство (3), то точка М лежит на кривой С.

В самом деле, пусть снова F — левый фокус кривой С, т. е. , а прямая d имеет уравнение

Тогда

По предположению для точки М выполнено условие (3), так что

т. е.

или

что после очевидных преобразований превращается в

Если кривая С — эллипс, то и уравнение (4) переписывается в виде

или

— точка М лежит на эллипсе С.

Если же кривая С — гипербола, то и уравнение (4) можно написать в виде

пли в виде

— точка М лежит на гиперболе С.

Итак, доказана следующая теорема:

Как эллипс, так и гипербола С с эксцентриситетом есть геометрическое место точек М плоскости, удовлетворяющих следующему условию: отношение расстояния точки М до произвольно выбранного фокуса кривой к расстоянию точки М до соответствуйщей этому фокусу директрисы равно .

Пусть теперь (на плоскости) даны точка F, прямая d, не ходящая через эту точку, и положительное число .

Докажем, что при существует эллипс и при гипербола с эксцентриситетом , фокусом F и соответствующей ей директрисой .

В самом деле, опустим из точки F перпендикуляр FD на прямую d и обозначим через А точку, делящую отрезок FD в отношении , а через А — точку, делящую тот же отрезок FD в отношении , так что

Нетрудно показать (см. задачу 1), что тогда середина О отрезка делит отрезок FD в отношении — :

Из равенств (5) и следует, что точки F, D и А лежат по одну сторону от точки О.

Выберем прямоугольную систему координат с началом в точке О и положительным направлением OF оси . Пусть в этой системе

Так как точки A, F и D лежат на положительном луче оси , то все три числа а, с и d являются положительными, причем

Чтобы установить, что точка F и прямая d являются фокусом и директрисой кривой с центром О, первой полуосью а и эксцентриситетом , достаточно показать, что

Имеем

и

Утверждение доказано.

Эксцентриситет эллипса (не являющегося окружностью) есть положительное число эксцентриситет гиперболы .

Определим эксцентриситет для всякой параболы, положив его равным . Теперь любое положительное число является эксцентриситетом или эллипса, или параболы, или гиперболы, и мы в качестве итога рассуждений этого параграфа получаем такой основной результат: Класс кривых, являющихся эллипсами окружности), параболами или гиперболами, может быть определен следующим образом: Каждая кривая С этого класса (и только кривая этого класса) есть геометрическое место точек М, для которых отношение расстояния точки М от некоторой фиксированной точки F («фокуса кривой С») к расстоянию точки М от некоторой фиксированной прямой («директрисы кривой С») есть постоянное положительное число

(для всех точек М кривой С),

называемое эксцентриситетом кривой С.

Кривая С есть