§ 7. Векторные многообразия

Определение. Векторное многообразие есть такое непустое множество V векторов, что любая линейная комбинация векторов, принадлежащих этому множеству, также принадлежит ему.

Замечание 1. В определении векторного многообразия V достаточно потребовать, чтобы из всегда следовало из при любом вещественном следовало бы,

Наибольшее число векторов, образующих линейно независимую систему, в данном многообразии называется числом измерений или размерностью этого многообразия. Так, в пространстве можно найти три пекомплаиарных , значит, линейно независимых) вектора, а всякие четыре вектора линейно зависимы; поэтому

1. Множество всех векторов пространства есть трехмерное векторное многообразие .

Всякая линейная комбинация векторов, коллинеарных данной прямой (компланарных данной плоскости), есть вектор, коллинеарный этой прямой (компланарный этой плоскости).

Другими словами, совокупность соответственно всех векторов, коллинеариых данной прямой (компланарных данной плоскости), есть векторное многообразие.

Так как всякий отличный от нуля вектор образует линейно независимую систему, тогда как всякие два коллинеарных вектора линейно зависимы, то

2. Множество всех векторов, коллинеарных какой-нибудь прямой, есть векторное многообразие размерности 1.

Легко доказывается и теорема

3. Множество всех векторов, компланарных какой-нибудь плоскости, есть векторное многообразие размерности 2.

В самом деле, всякие два неколлинеарных вектора, компланарные плоскости , образуют лпнейпо независимую систему. С другой стороны, всякие три компланарных вектора линейно зависимы.

Заметим, что множество, состоящее из одного нулевого вектора, также является векторным многообразием; оно имеет размерность нуль.

Докажем, что перечисленными только что векторными многообразиями исчерпываются все возможные векторные многообразия (элементами которых являются векторы, лежащие в обычном трехмерном пространстве). Другими словами, докажем следующую теорему:

4. Пусть V — какое-либо векторное многообразие. Возможны лишь следующие случаи:

(А) V состоит из одного лишь нулевого вектора; тогда размерность V равна нулю.

(Б) V состоит из всех векторов, коллинеарных какой-либо прямой; тогда размерность V равна 1.

(В) V состоит из всех векторов, компланарных некоторой плоскости; тогда размерность V равна 2.

(Г) V состоит из всех вообще векторов трехмерного пространства; тогда размерность V равна 3.

Доказательство. Заметим прежде всего, что всякое векторное многообразие V содержит нулевой вектор.

В самом деле, по определению векторного многообразия множество V непусто, т. е. содержит хотя бы один вектор и; но тогда по определению векторного многообразия вектор также содержится в множестве V.

Может случиться, что множество V состоит из одного нулевого вектора; тогда мы находимся в случае (А).

Пусть в V содержится хотя бы вектор . Тогда в V содержатся и все векторы вида , где — любое вещественное число. Если все множество V этими векторами исчерпывается, то это множество есть многообразие (размерности 1), состоящее из всех векторов, коллинеарных вектору (т. е. коллинеарных прямой, несущей этот вектор). Тогда мы находимся в случае (Б).

Предположим, что в множестве V имеется вектор , не коллинеарный вектору . Тогда в V содержатся и векторы еидэ , т. е. все векторы, компланарные плоскости, несущей Два неколлинеарных вектора . Если все множество V исчерпывается этими векторами, то мы находимся в случае (В).

Если же в множестве V имеется хотя бы один вектор , не компланарный паре векторов , то в содержится тройка некомпланарных векторов , а следовательно, содержится и всякий вектор и вида

Но по теореме 8 § 4 всякий вектор и пространства может быть представлен в виде (1), если — три компланарных вектора, и мы находимся в случае (Г). Теорема доказана.

Замечание 2. Сформулируем общее определение базиса векторного многообразия, лишь по форме отличающееся от основного определения, данного в § 4.

В векторном многообразии V размерности возьмем систему, состоящую из линейно независимых векторов. Она состоит в случае из одного ненулевого вектора , и случае — из двух неколлинеарных векторов , в случае — из трех векторов .

Но всех случаях эта система является максимальной линейно независимой системой, содержащейся в V (максимальной в том смысле, что, пополнив ее каким-либо не содержащимся в ней вектором, мы получим уже линейно зависимую систему).

Всякая такая система, т. е. система из линейно независимых векторов, взятых в данном векторном многообразии V размерности , называется базисом этого векторного многообразия.

Мы видели, что всякий вектор , содержащийся в многообразии V, представим (и притом единственным образом) в виде линейной комбинации элементов базиса этого многообразия; мы знаем также, что коэффициенты в этой линейной комбинации называются координатами вектора и относительно данного базиса.

Сделаем, наконец, следующее заключительное замечание, относящееся ко всей главе.

Замечание 3. Нигде в этой главе мы не предполагали, что во всем пространстве выбран масштаб, т. е. отрезок, служащий для измерения длин, нигде мы не пользовались понятием длины вектора, мы не будем пользоваться этим понятием и в следующей главе.