§ 5. Прямая линия на комплексной плоскости

Прямую линию на комплексной плоскости естественно определять как линию первого порядка, т. е. задавать ее уравнением первой степени

(«общее уравнение прямой»). При этом весьма частным случаем общих теорем об уравнениях первой степени, доказанных в главе XIV, § 5, является следующее предложение.

Теорема 1. Два уравнения (1) и

тогда и только тогда имеют одно и то же множество решений («определяют одну и ту же прямую»), когда их коэффициенты пропорциональны, т. е. когда при некотором имеем

Уравнения (1) и () тогда и только тогда несовместны (задаваемые ими прямые параллельны в собственном смысле), когда

Доказываем элементарно. Если уравнения (1) и (1) эквиралентны, то при некотором имеют место соотношения (2). В самом деле, из предположения следует, что система двух уравнений (1), (1) имеет бесконечное множество решений, значит, детерминант системы равен нулю:

т. е. при некотором k имеем .

Если при этом то, как легко убедиться, уравнения (1), (1') были бы несовместны. Итак, из эквивалентности уравнений (1) и (1') следует пропорциональность их коэффициентов. Обратное утверждение очевидно. Остается доказать: из несовместности уравнений (1) и (1') вытекает условие (3). Но из несовместности уравнений (1) и (1') вытекает прежде всего равенство (4), т. е. пропорция

Если бы она продолжалась до пропорции

то уравнения (1) и (1') были бы эквивалентны и, значит, совместны, поэтому имеет место все доказано.

Замечание. Из теоремы 1 вытекает, что те трудности, которые возникают при определении алгебраической линии как множества решений алгебраического уравнения , не возникают, когда степень этого уравнения равна -прямую линию мы сейчас уже в праве определить как множество всех точек плоскости, удовлетворяющих уравнению (1). Это было законно на обыкновенной, вещественной плоскости и продолжает быть законным на комплексной плоскости.

Во многих случаях, однако, прямую на комплексной плоскости удобнее задавать не ее «общим» уравнением (1), а параметрически, т. е. как множество точек комплексной плоскости, определяемых равенствами

когда t пробегает все комплексные числовые значения любые данные комплексные числа, лишь случай исключен).

Докажем, что оба способа определения прямой эквивалентны между собою.

1° Пусть прямая задана уравнением (1). Как и на вещественной плоскости, назовем направляющим вектором прямой (1) вектор и всякий ему коллинеарный ненулевой вектор Другими словами, направляющим вектором прямой (1) называется всякий вектор удовлетворяющий уравнению

Докажем следующее предложение:

Если — какая-нибудь точка прямой (1), а — какой-нибудь направляющий вектор этой прямой, то точками прямой (1) являются те и только те точки , координаты которых могут быть записаны в виде (5).

В самом деле, если точка при некотором t записывается в виде (5), то

т. е. точка М лежит на прямой (1).

Обратно, пусть — какая-нибудь точка, лежащая на прямой (1). Так как тоже лежит на этой прямой, то имеем множество

и, значит,

Так как — направляющий вектор прямой (1), т. е.

то из (6) и (7) вытекает

или

что и означает, что при некотором t имеем

2° Рассмотрим множество всех точек , которые при каких-нибудь постоянных (исключен лишь случай допускают запись (5). Эта запись означает, что имеет место пропорция (8), т. е. что точка лежит на прямой

Тогда тоже лежит на прямой (9), а вектор является ее направляющим вектором. Следовательно, данная с самого начала система уравнений (5) является системой параметрических уравнений именно этой прямой.

Эквивалентность двух способов задавать прямую — общим уравнением (1) или системой параметрических уравнений (5) - доказана.

Как и раньше, будем разрешать себе вместо «система параметрических уравнений прямой» говорить просто «параметрическое уравнение прямой».

Прямая, проходящая через две данные точки. Пусть прямая дана своим уравнением (1) и, значит, эквивалентным ему параметрическим уравнением (5).

Если точка, лежащая на нашей прямой (5) и отличная от точки то, полагая получим направляющий вектор прямой следовательно, ее параметрическое уравнение (5) может быть записано в виде

Уравнение (8) при этом принимает вид

или

или, наконец,

— получаем уравнение прямой, проходящей через точки

По аналогии со случаем вещественной плоскости говорят, что точка делит отрезок в отношении если , откуда

В частности, при получаем точку называемую серединой отрезка