§ 5. Теорема единственности

Содержание этого параграфа совершенно аналогично содержанию § 10 главы XVII.

Теорема 2.

Два многочлена второй степени тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собою, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое число .

Как и в случае многочленов от двух переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо доказать, что два многочлена второй степени , имеющие одно и то же нулевое многообразие пропорциональны между собою.

Рассмотрим поверхности

и

Берем какое-нибудь направление неасимптотическое для поверхности (!); оно будет неасимптотическим и для поверхности (2).

Диаметральная плоскость поверхности (1), сопряженная направлению будет и диаметральной плоскостью поверхности (2), сопряженной тому же направлению.

Возьмем теперь систему координат , ось z которой имеет направление а две другие оси лежат в плоскости . В этой системе координат уравнения (1) и (2) примут соответственно вид

где

Здесь в противном случае единичный вектор оси z, удовлетворяя уравнению

был бы вектором асимптотического направления для поверхности (1) (соответственно для ) — вопреки нашим предположениям.

Нам надо доказать пропорциональность многочленов , т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов . Для этого обозначим через пересечение множества С с плоскостью . Множество есть множество всех точек плоскости в которых обращается в нуль один какой-нибудь следовательно, любой) из многочленов . Другими словами, это есть (лежащее в плоскости ) нулевое многообразие каждого из этих многочленов.

Возможны следующие случаи:

1° Множество пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из равенств противоречиво, т. е. когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов тождественно равен отличной от нуля постоянной соответственно .

2° Множество совпадает со всей плоскостью . Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов тождественно равен нулю.

3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество есть множество всех точек кривой второго порядка, определяемой в плоскости каждым из уравнений

В этом случае в силу теоремы единственности для многочленов второй степени от двух переменных имеем при некотором . Полагая (что возможно, так как ), можем написать

Для того чтобы доказать в случае 3° пропорциональность многочленов , надо только показать, что Так как многочлен не равен тождественно постоянной, то существуют значения для которых . Найдя такие значения, решаем относительно z уравнение

Получаем . Итак, точка принадлежит множеству С.

Следовательно,

Итак, в случае 3° утверждение теоремы 2 доказано.

В случае 2° имеем

и, следовательно, полагая имеем — утверждение теоремы 2 верно и в этом случае.

Наконец, в случае 1° уравнения (1), (2) принимают вид

Множество С есть пара плоскостей, определяемая каждым из уравнений

Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было при . Теорема 2 доказана во всех случаях.

Аналогично тому, что мы сделали в главе XVII, § 10, мы теперь можем определить поверхность второго порядка как множество всех точек комплексного трехмерного пространства, координаты которых в некоторой аффинной координатной системе удовлетворяют уравнению второй степени . При этом два таких уравнения определяют в одной и той же системе координат тогда и только тогда одну и ту же поверхность второго порядка, когда одно из этик уравнений получается из другого почленным умножением на некоторое число .