§ 5. Теорема единственности
Содержание этого параграфа совершенно аналогично содержанию § 10 главы XVII.
Теорема 2.
Два многочлена второй степени 
тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собою, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое число 
.
Как и в случае многочленов от двух переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо доказать, что два многочлена второй степени 
, имеющие одно и то же нулевое многообразие 
пропорциональны между собою.
Рассмотрим поверхности
и
Берем какое-нибудь направление 
неасимптотическое для поверхности (!); оно будет неасимптотическим и для поверхности (2).
Диаметральная плоскость 
поверхности (1), сопряженная направлению 
будет и диаметральной плоскостью поверхности (2), сопряженной тому же направлению.
Возьмем теперь систему координат 
, ось z которой имеет направление 
а две другие оси лежат в плоскости 
. В этой системе координат уравнения (1) и (2) примут соответственно вид
где
Здесь 
в противном случае единичный вектор 
оси z, удовлетворяя уравнению
был бы вектором асимптотического направления для поверхности (1) (соответственно для 
) — вопреки нашим предположениям.
Нам надо доказать пропорциональность многочленов 
, т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов 
. Для этого обозначим через 
пересечение множества С с плоскостью 
. Множество 
есть множество всех точек плоскости 
в которых обращается в нуль один какой-нибудь 
следовательно, любой) из многочленов 
. Другими словами, это есть (лежащее в плоскости 
) нулевое многообразие каждого из этих многочленов.
Возможны следующие случаи:
1° Множество 
пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из равенств 
противоречиво, т. е. когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов 
тождественно равен отличной от нуля постоянной 
соответственно 
.
2° Множество 
совпадает со всей плоскостью 
. Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов 
тождественно равен нулю.
3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество 
есть множество всех точек кривой второго порядка, определяемой в плоскости 
каждым из уравнений
В этом случае в силу теоремы единственности для многочленов второй степени от двух переменных имеем 
при некотором 
. Полагая 
(что возможно, так как 
), можем написать
Для того чтобы доказать в случае 3° пропорциональность многочленов 
, надо только показать, что 
Так как многочлен 
не равен тождественно постоянной, то существуют значения 
для которых 
. Найдя такие значения, решаем относительно z уравнение
Получаем 
. Итак, точка 
принадлежит множеству С.
Следовательно,
Итак, в случае 3° утверждение теоремы 2 доказано.
В случае 2° имеем
и, следовательно, полагая 
имеем 
— утверждение теоремы 2 верно и в этом случае.
Наконец, в случае 1° уравнения (1), (2) принимают вид
Множество С есть пара плоскостей, определяемая каждым из уравнений
Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было 
при 
. Теорема 2 доказана во всех случаях.
Аналогично тому, что мы сделали в главе XVII, § 10, мы теперь можем определить поверхность второго порядка как множество всех точек комплексного трехмерного пространства, координаты которых в некоторой аффинной координатной системе удовлетворяют уравнению второй степени 
. При этом два таких уравнения определяют в одной и той же системе координат тогда и только тогда одну и ту же поверхность второго порядка, когда одно из этик уравнений получается из другого почленным умножением на некоторое число 
.
