§ 3. Конусы второго порядка
Под действительным конусом второго порядка понимается поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением
Это уравнение и система координат, в которой данный конус им задается, называются каноническими для этого конуса (рис. 200).
Рис. 200.
Рис. 201.
Поверхность, получающаяся от вращения вокруг заданной прямой 
какой-нибудь прямой d, пересекающейся с прямой 
, называется круглим конусом или конусом вращения. Выведем уравнение круглого конуса. Для этого примем прямую 
(произвольно ориентированную) за ось аппликат, точку ее пересечения с прямой d — за начало координат, а плоскость, проходящую через прямые 
, — за плоскость 
прямоугольной системы координат (рис. 201).
Уравнение прямой d в плоскости 
можем записать в виде 
где 
- острый угол наклона прямой d к оси 
. Тогда уравнение поверхности вращения будет
или
где 
. Уравнение (2) и есть каноническое уравнение круглого конуса.
Рис. 202.
Рис. 203.
Плоскость, параллельная плоскости 
пересекает конус (2) по окружности (например, плоскость 
окружности 
Если немного наклонить эту плоскость, то в сечении получится эллипс (рис. 202) (читателю предлагается проверить это).
Плоскости, параллельные плоскостям 
пересекают конус (2) но гиперболам: например, в сечении конуса (2) плоскостью 
получаем кривую
т. е., полагая 
гиперболу (рис. 203)
Не только эллипс и гипербола, но и парабола является плоским сечением круглого конуса (2). Для простоты положим 
тогда уравнение конуса будет
Докажем, что параболой является, например, сечение конуса (4) плоскостью 
, заданной уравнением
(плоскость эта параллельна образующей 
конуса (4) (рис. 204)). Сделаем преобразование прямоугольных координат:
В новой системе координат плоскость я является координатной плоскостью 
а поверхность (4) получает уравнение
поэтому ее сечение плоскостью 
есть парабола
Итак, и эллипс, и гипербола, и парабола являются сечениями конуса (даже круглого конуса) второго порядка. Поэтому эти кривые и называются коническими сечениями.
Рис. 204.
К плоским сечениям поверхностей второго порядка мы еще вернемся с более общей точки зрения в главе XIX.
Наряду с действительными конусами второго порядка существуют еще мнимые конусы, которые в канонической для них системе координат имеют уравнение
Единственная действительная точка мнимого конуса есть точка 
, Их дальнейшее изучение интереса для нас не представляет.
Заметим, наконец, что цилиндрические и конические поверхности второго порядка (охватывающие, как мы видели, в виде частного случая и все распадающиеся поверхности второго порядка) будут объединены под общим наименованием вырождающихся поверхностей второго порядка; им — в качестве невырождающихся поверхностей — противополагаются эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды, к определению и краткому описанию которых мы и переходим.
