§ 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Касательные прямые и касательная плоскость. Особые точки поверхности второго порядка

То, что говорилось в § 1 главы XVII о пересечении алгебраической кривой с пряной, можно было бы — с несущественными и очевидными изменениями — повторить и о пересечении алгебраической поверхности

с прямой

Как всегда, мы будем предполагать, что и поверхность (), и прямая (2) являются вещественными; в соответствии с этим все коэффициенты в уравнениях () и (2) всегда предполагаются вещественными.

Мы ограничимся случаем, когда данная поверхность второго порядка, т. е. когда ее уравнение есть

Старшие члены многочлена образуют квадратичную форму

Мы будем пользоваться еще следующими обозначениями, которых будем постоянно придерживаться не только в этой главе, но и в последующих:

Для нахождения точек пересечения поверхности (1) с прямой (2) подставим (2) в (1): после приведения подобных членов получим уравнение второй степени относительно , а именно:

где, как легко проверить,

Уравнение (5) есть квадратное уравнение, за исключением того случая, когда

Вектор удовлетворяющий условию (7), называется вектором асимптотического направления или просто асимптотическим вектором поверхности (1); прямая, направляющий вектор которой является асимптотическим, называется прямой асимптотического направления для данной поверхности.

Замечание. Повторяя в точности рассуждения § 3 главы XVII, убеждаемся в том, что вопрос о том, является ли данное направление асимптотическим или нет для данной поверхности второго порядка, зависит только от этой поверхности и от данного направления и не зависит от системы координат, в которой задано уравнение этой поверхности.

Если прямая (2) имеет неасимптотическое направление, то уравнение (5) квадратное и имеет два корня — вещественные различные, или мнимые сопряженные, или совпадающие (вещественные). Подставляя эти значения в равенства (2), получим две точки пересечения (вещественные или мнимые, быть может, совпадающие) прямой (2) и поверхности (1). Итак:

Если прямая (2) имеет неасимптотическое направление, то она пересекает поверхность (1) в двух точках — различных (действительных или мнимых сопряженных) или совпадающих (действительных), получающихся, если подставить в (2) любой из двух корней или квадратного уравнения

Если обе точки пересечения прямой (2) с поверхностью (1) сливаются в одну, т. е. уравнение (5) имеет совпадающие корни, то прямая (2) называется касательной к поверхности.

Б этом случае за точку прямой (2) возьмем точку, лежащую на поверхности (эта точка и будет точкой прикосновений прямой к поверхности). Тогда и уравнение (5) принимает вид т. е.

Один его корень есть второй для того чтобы он тоже был равен нулю, надо, чтобы было т. е.

Это и есть условие, которому должен удовлетворять направляющий вектор , прямой (2), проходящей через точку поверхности (1), чтобы эта прямая была касательной (и тогда она будет касательной в точке ).

Имеется бесконечноемножествопрямых, проходящих через точку с направляющими векторами, удовлетворяющими условию (8), т. е. бесконечное множество касательных к поверхности (1) в данной ее точке Пусть произвольная точка любой из этих прямых. Тогда есть направляющий вектор этой прямой, и он удовлетворяет уравнению

Итак, все точки всех касательных, проведенных к поверхности (1) в точке удовлетворяют уравнению (9); уравнение (-первой степени, следовательно, это уравнение иеко торой плоскости, проходящей через точку Плоскость эта называется касательной плоскостью к поверхности (1) в точке она несет на себе все прямые, касающиеся поверхности (1) в точке уравнение (9) и есть уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в ее точке . В развернутом виде это уравнение записывается так:

В самом деле, уравнение (9) может быть записано в виде

Но в силу равенства

имеем

откуда и следует уравнение (9).

Уравнение (9) может быть переписано в виде

где через и т. д. обозначены значения соответствующих частных производных функции в точке в этом виде в курсе анализа записывается уравнение касательной плоскости к поверхностям, значительно более общим, чем поверхности второго порядка (и алгебраические поверхности вообще).

Особые точки поверхности второго порядка. Возникает вопрос: когда уравнение (9) касательной плоскости становится неопределенным?

Очевидно, это происходит лишь тогда, когда одновременно

причем в то же время

Но

Если выполнено (10), то тождество (11) превращается в

а - в

Это равенство вместе с равенствами (10) показывают, что четверка чисел образует ненулевое решение системы уравнений

Значит,

Поверхности второго порядка, данные уравнением (1), коэффициенты которого удовлетворяют условию (13), называются вырождающимися, а точка удовлетворяющая уравнениям (10) и (10), называется особой точкой поверхности (1).

Из доказанного следует, что только у вырождающихся поверхностей могут быть особые точки. Подробнее мы рассмотрим весь этот вопрос в § 5 главы XXIII.

Итак, только в случае вырождающейся поверхности второго порядка и только и ее особой точке касательная плоскость к поверхности (1) оказывается неопределенной. Попутно мы доказали, что при выполнении условий (10) условия (10) и (12) эквивалентны между собою.