§ 5. Подпространства евклидовых пространств. Ортогональное дополнение к данному подпространству

Так как функция т. е. скалярное произведение любых двух векторов евклидова пространства определена, в частности, и для векторов, лежащих в произвольно данном подпространстве пространства то всякое подпространство евклидова пространства есть евклидово пространство.

Пусть есть подпространство евклидова пространства Назовем вектор и ортогональным к подпространству если он ортогонален ко всякому вектору v, лежащему в этом подпространстве. Так как никакой (отличный от нуля) вектор не ортогонален к самому себе, то ни один (отличный от нуля) вектор, ортогональный к подпространству не лежит в этом подпространстве. Из линейности скалярного произведения следует, далее, что вектор , ортогональный ко всем векторам образующим какой-нибудь базис подпространства будет ортогонален и ко всему подпространству .

Далее, если векторы ортогональны к подпространству ЕР, т. с. ортогональны к любому то тем же свойством будет обладать и всякий вектор , являющийся линейной комбинацией векторов Отсюда сразу вытекает предложение.

Совокупность всех векторов и ортогональных к подпространству пространства есть некоторое векторное подпространство оно называется ортогональным дополнением, к подпространству в пространстве или, короче, аннулятором подпространства

Мы уже заметили, что нулевой вектор есть единственный вектор, одновременно принадлежащий данному подпространству и его аннулятору

Возьмем в подпространстве какой-нибудь ортонормальный базис

и дополним его до ортонормального базиса

всего пространства (мы видели на стр. 715, что это всегда возможно).

Векторы (будучи ортогональными ко всем векторам составляющим базис подпространства ) ортогональны ко всему подпространству и, следовательно, лежат в Отсюда следует, что подпространства в своей совокупности порождают все пространство а так как пересечение и состоит из одного нулевого вектора, то есть прямая сумма (любого) подпространства и его аннулятора

В главе XII, § 8, мы доказали (опираясь на основную теорему о системах однородных линейных уравнений), что размерность аннулятора -мерного подпространства равна

Даднм теперь второе, прямое доказательство формулы (3). Для этого достаточно доказать, что ортонормальная система

состоящая из векторов, есть базис пространства . В самом деле, система (4) линейно независима (так как ортогональна), остается доказать, что каждый вектор есть линейная комбинация векторов (4).

Но это почти очевидно. Если

то

т. е.

что и требовалось доказать.

Формула (3) эквивалентна основной теореме о системах однородных уравнений (теорема 12 главы XII): достаточно вспомнить, что аннулятор подпространства снабженного каким-нибудь базисом

совпадает с аннулятором этого базиса, т. е. с пространством решений системы уравнений

Таким образом, дав прямое доказательство формулы (3), мы этим заново и очень просто доказали основную теорему о системах однородных линейных уравнений.

Замечание 1. Два подпространства Е и пространства называются ортогональными между собою, если каждый вектор одного из этих подпространств ортогонален к каждому вектору другого. Очевидно, что каждое подпространство ортогональное к данному подпространству Е, содержится в анпуляторе NE этого последнего.

В этом смысле аннулятор подпространства Е в есть максимальное подпространство пространства ортогональное к данному подпространству .

Напомним, наконец, формулу

выражающую симметрию свойства одного подпространства быть аннулятором другого: если подпространство состоит из всех векторов ортогональных к пространству , то состоит из всех векторов, ортогональных к .