§ 3. Параметрическая запись уравнения эллипса; построение эллипса по точкам. Эллипс как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров

Пусть на плоскости дан эллипс своим каноническим уравнением

Построим две окружности — «большую» и «малую» — с общим центром в начале координат и радиусами а — у «большой окружности» и b — у «малой окружности» (рис. 82). Проведем из начала координат произвольный луч. Угол его наклона к оси абсцисс обозначим через . Точку пересечения нашего луча с большой окружностью обозначим через L, а с малой — через К. Через точки К и L проведем прямые k и , параллельные оси (пересекающие ось в точках К и L). Через точку К проведем прямую, параллельную оси . Точку пересечения этой прямой с прямой I обозначим через М. При получаем при , точка это вершины эллипса. Вообще же при наше построение дает некоторую точку верхней, а при — точку нижней полуплоскости, так что на каждой вертикальной прямой , получаем ровно две точки М.

Рис. 82.

Докажем, что каждая из этих точек лежит на эллипсе (1). В самом деле, для координат точки М имеем

так что , чем утверждение доказано.

Докажем, что наше построение — а следовательно, совокупность уравнений (-при некотором дает нам любую точку эллипса.

В самом деле, пусть какие-нибудь точка эллипса, — . На прямой паше построение дает нам две точки М, и , удовлетворяя уравнению (1), лежат на нашем эллипсе. Если бы ни одна из них не совпадала с точкой N, то на прямой оказалось бы три точки эллипса, чего быть не может, так как, полагая в уравнении , получаем для определения ординаты точки пересечения прямой с эллипсом (1) квадратное уравнение.

Мы доказали следующее предложение:

Все точки эллипса (1) и только эти точки удовлетворяют системе уравнений

Эту систему называем поэтому «параметрической записью уравнения эллипса» или просто «параметрическим уравнением эллипса» (не боясь того, что уравнений здесь два, а не одно).

Вместе с тем мы дали способ построения эллипса «по точками, вернее, способ построения произвольно большого числа точек эллипса. Но мы доказали, кроме того, одно важное и наглядное свойство эллипса. В самом деле, вернемся к рис. 82. Точка есть (произвольная) точка эллипса, есть точка большой окружности, имеющая ту же абсциссу, т. е. лежащая на той же вертикальной прямой, что и точка М. Тогда . Из подобия треугольников ОКК и OLL имеем . Таким образом, наш эллипс получился из (большой» окружности преобразованием плоскости, заключающимся в том, что все точки оси абсцисс остаются на месте, а каждая точка P (рис. 83), не лежащая на этой оси, переходит в точку P с той же абсциссой, но с ординатой, полученной из ординаты точки P умножением на число — ордината каждой точки «сжалась» в отношении .

Такое преобразование называется равномерным сжатием плоскости к оси абсцисс в отношении . Вообще, равномерным сжатием плоскости к данной прямой d в отношении называется преобразование плоскости, состоящее в следующем: каждая точка прямой d остается на месте; произвольная точка P, не лежащая на прямой d, переходит в точку P, лежащую на перпендикуляре РР к прямой d (см. рис. 83) по ту же сторону от этой прямой, что и точка P и определенную условием , где P — основание перпендикуляра, т. е. пересечение его с прямой .

Термин «сжатие» наглядно оправдан лишь при (см. рис. 83); при происходит не сжатие, а «растяжение». Тем не менее мы будем употреблять термин «сжатие» в случае любого k. Читатель сам докажет, что наш эллипс может быть получен из малой а , окружности сжатием ее в отношении — (т. е., говоря точнее, растяжением ее) к оси ординат.

Рис. 83.

Итак, доказано следующее предложение:

Всякий эллипс получается сжатием окружности к одному из ее диаметров 1).

Из этого предложения и иллюстрирующего его рис. 83 легче всего уяснить форму эллипса. Впрочем, вероятно, читатель представлял себе ее и до того, как знакомился с этими лекциями.