ГЛАВА XIV. ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНОЕ АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

§ 1. Определение n-мерного аффинного пространства

В трехмерном пространстве мы имели дело и с точками, и с векторами; каждые две точки А, В, данные в определенном порядке, однозначно определяли вектор каждый вектор и мы могли приложить к любой точке М, и это определяло нам точку - конец вектора , приложенного к М. Прикладывая вектор и одновременно ко всем точкам пространства, мы получали вполне определенное преобразование — сдвиг всего пространства на вектор . При получающемся таким образом взанмно однозначном соответствии между векторами и определенными ими преобразованиями пространства (сдвигами) сумме двух векторов соответствует сумма производимых ими сдвигов. Поэтому мы пришли (в конце § 1 главы II) к возможности отождествлять (свободные) векторы с производимыми ими сдвигами пространства.

Все это мы хотим теперь обобщить с трех на произвольное число измерений. Как и в главе XII, мы пойдем при этом по аксиоматическому пути.

Основное определение I. Аффинное точечно-векторное -мерное пространство есть множество, состоящее из элементов Двух родов: «точек» и «векторов» пространства, о природе которых мы не делаем никаких предположений. При этом предполагаются выполненными следующие четыре условия - «аксиомы -мерного аффинного пространства»:

I. Множество всех векторов пространства есть -мерное векторное пространство будем обозначать через .

II. Каждые две точки А, В (данные в определенном порядке) определяют единственный вектор

III. Если даны произвольный вектор и и произвольная точка А, то существует единственная точка В такая, что

Другими словами: точка А и вектор и определяют единственную точку В таким образом, что вектор, определенный (по аксиоме II) парой точек А к В, есть именно вектор и.

Пара «точка А и вектор и» называется «вектором и, приложенным к точке А» (или «закрепленным» в этой точке); сама точка А называется начальной точкой приложенного к ней вектора и, а точка В (однозначно определенная парой А, и) называется концом, вектора (приложенного к точке А). Мы видим, что закрепить вектор и в точке А — значит записать его в виде (1). Иногда нам будет удобно говорить, что вектор АВ есть вектор, ведущий из точки А в точку В.

Формулируем, наконец, последнюю аксиому:

Выведем первые следствия из этих аксиом, но сначала сделаем несколько замечаний, удобных для дальнейшего.

1. Если , то — это непосредственно следует из аксиомы III.

2. При любом выборе точки А вектор АА есть нулевой вектор 0.

В самом деле, если , то для любого вектора должно быть и или , а это в силу утверждения 1 означает и .

3. Если , то .

В самом деле, — и есть единственный вектор, удовлетворяющий условию но , откуда и следует .

4. Если даны вектор и точка В, то существует единственная точка А такая, что .

В самом деле, возьмем вектор — и приложим его к точке В, т. е. найдем ту единственную точку А, для которой ; тогда и . Если , то , откуда (в силу утверждения 1) заключим, что .

В силу аксиомы III и утверждения 4 нмеет место утверждение 5. Произвольно данный вектор и порождает вполне определенное взаимно однозначное отображение множества всех точек пространства на себя.

Это отображение, называемое сдвигом пространства на вектор , состоит в том, что каждой точке ставится в соответствие конец В приложенного к точке А вектора . При сдвиге (в силу аксиомы IV) сумме векторов соответствует сумма произведенных ими сдвигов пространства.

Пусть — какой-нибудь вектор, и пусть при сдвиге на вектор v точки P и Q переходят соответственно в P и Q; это значит, что . Докажем, что тогда . Но , или и, что и требовалось доказать.