ГЛАВА XVIII. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе будут перечислены различные виды поверхностей второго порядка. В главе XX мы покажем, что каждая из поверхностей второго порядка является одной из упомянутых в настоящей главе, т. е. что мы перечислили все поверхности второго порядка.
Система координат во всей этой главе предполагается прямоугольной.
§ 1. Распадающиеся поверхности
Если многочлен второй степени 
есть произведение двух многочленов первой степени:
то поверхность 
распадается на пару плоскостей 
Если эти плоскости пересекаются, то сделаем прямую их пересечения осью аппликат, а биссекторные плоскости двугранных углов, образуемых этими плоскостями, примем за координатные плоскости 
прямоугольной системы координат, беря в качестве плоскости 
любую плоскость, перпендикулярную к линии пересечения данных плоскостей (рис. 195). Тогда данные плоскости и 
получат уравнения 
а поверхность 
распавшаяся на эти плоскости, будет поверхностью
Итак, всякая поверхность второго порядка, распадающаяся на пару пересекающихся плоскостей, в некоторой системе координат имеет уравнение (1).
Если поверхность распадается на пару параллельных плоскостей 
то примем за плоскость 
прямоугольной системы координат среднюю плоскость я между плоскостями 
Начало прямоугольной системы координат О и векторы 
возьмем в плоскости 
, а вектор 
направим перпендикулярно 
плоскости 
(рис. 196);
Тогда плоскости 
будут соответственно иметь уравнения. 
уравнение пары плоскостей 
будет
Наконец, мы говорим, что уравнение
определяет пару совпадающих между собою плоскостей
Приняв эту плоскость за плоскость 
новой координатной системы, мы видим, что всякая поверхность второго порядка, являющаяся
Рис. 195.
Рис. 196.
парой совпадающих между собою плоскостей, в некоторой системе координат может быть задана уравнением
Мы увидим (в гл. XX), что поверхность, распадающаяся на пару мнимых (сопряженных) плоскостей, может быть задана уравнением
если эти плоскости пересекаются, и уравнением
если они параллельны.
