§ 2. Системы координат. Арифметическое пространство. Изоморфизм всех n-мерных пространств между собою

Система координат в -мерном аффинном пространстве , по определению, состоит из некоторой точки О («начало координат») и из базиса многообразия всех векторов данного аффинного пространства .

Координаты какого-нибудь вектора и в этой системе координат суть, естественно, координаты этого вектора относительно базиса они не зависят от выбора начала координат.

Координатами произвольной точки М пространства называются координаты вектора ОМ.

Вектор и с координатами , как всегда, обозначаем через точку М с координатами обозначаем через

Таким образом, запись (1) означает то же, что и запись

Так как координаты данного вектора относительно данного базиса определены однозначно (гл. XII, § 2), то и координаты данной точки М относительно данной системы координат (совпадая, по определению, с координатами вектора ОМ) также определены однозначно.

Пусть дан какой-нибудь вектор

причем ,

Тогда . Но ОА так как при сложении векторов их координаты складываются, то последнее равенство равносильно системе равенств

т. е.

— при любом закреплении вектора его координаты равны разностям между соответствующими координатами концевой и начальной точек вектора.

Или, другими словами: прилагая вектор к точке , получим , где

Переход от одной системы координат Оехеа к другой Оеег производится совершенно так же, как при соответствующие формулы отличаются от формул главы VIII, § 1, лишь тем, что теперь матрицы С и С суть матрицы любого порядка .

В качестве важнейшего примера -мерного аффинного пространства построим -мерное арифметическое пространство следующим образом. И точка, и векторы этого пространства суть наборы из действительных чисел , отмеченные дополнительным значком, указывающим, является ли данный набор точкой или вектором; за этот значок можно принять, например, скобки — круглые в случае точек, фигурные — в случае векторов. Итак, есть точка, а есть вектор пространства .

I. Векторы при этом образуют арифметическое векторное пространство это значит, что

Связь между точками и векторами, описываемая аксиомами II—IV, осуществляется следующим образом:

II. Пара точек определяет вектор

III. Точка и вектор определяет точку

При этом аксиома IV выполнена (так же как, очевидно, выполнены и аксиомы I, II, III).

Пусть дано взаимно однозначное отображение множества всех точек и векторов аффинного пространства А соответственно на множество всех точек и векторов аффинного пространства В, являющееся изоморфным отображением многообразия всех векторов пространства А на многообразие всех векторов и удовлетворяющее, кроме того, следующему условию:

(*) Если при данном отображении точки пространства А отображаются соответственно на точки пространства В, то и вектор отображается на вектор .

Такое отображение называется изоморфным отображением аффинного пространства А на аффинное пространство В. Пространства А и В называются изоморфными между собою, если одно из них можно изоморфно отобразить на другое. Так как изоморфизм между аффинными пространствами включает в себя изоморфизм многообразий их векторов, то, очевидно, всякие два изоморфных аффинных пространства имеют одну и ту же размерность.

Докажем, что и, обратно, два аффинных пространства, имеющих одну и ту же размерность, изоморфны между собою. Этот изоморфизм мы получим, построив изоморфное отображение произвольного -мерного аффинного пространства на арифметическое -мерное пространство . Для этого возьмем в R" какую-нибудь систему координат . Тогда каждая точка М и каждый вектор и пространства однозначно записываются в виде

и сама эта запись устанавливает взаимно однозначное отображение множества всех точек и множества всех векторов пространства соответственно на множество всех точек и всех векторов пространства , удовлетворяющее, очевидно, условию . Изоморфизм между любым пространством и пространством , а значит, и между любыми двумя -мерными аффинными пространствами этим доказан.