§ 9. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
Фокальный параметр находит свое применение и при выводе уравнений эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Этвыи уравнениями постоянно пользуются в астрономии и во многих вопросах механики.
Начало полярной системы координат помещаем в фокус F (левый в случае эллипса (рис. 96), правый в случае гиперболы (рис. 97) и в единственный фокус в случае параболы (рис. 
); полярная ось направлена от полюса в сторону, противоположную от соответствующей директрисы d (т. е. так же, как направлена ось абсцисс в канонической для данной кривой системе координат).
Рис. 96.
Для любой точки М нашей кривой обозначаем через 
расстояние от М до фокуса F, через 
— расстояние от М до d. Наша кривая С есть геометрическое место точек М, для которых 
, т. е.
Но 
есть полярный радиус точки М. Вычислим 
. Обозначая через 
точку пересечения директрисы d с фокальной осью, а через 
проекцию точки 
на эту ось, видим, что 
есть длина вектора 
, лежащего на оси абсцисс (канонической системы).
Рис. 97.
Рис. 98.
Для алгебраических значений векторов на этой оси имеем
но
тогда как
где 
— угол наклона вектора FM к полярной оси, т. е. полярный угол точки М. На кривой С (в случае гиперболы на правой ее ветви) 
.
Подставляя в равенство (2) найденные значения входящих в нею величин, получаем
Наконец, подставляя это значение 
в (1), имеем
т. е. 
или
Это и есть уравнение параболы, эллипса и (ветви) гиперболы в полярных координатах.
Для параболы получаем просто
принимает все значения 
значение 
не годится, что и естественно, так как ему не соответствует никакая точка параболы.
В случае эллипса все значения 
хороши (так как всегда 
).
Для гиперболы можно брать значения 
, для которых
где 
— (острый) угол между асимптотой и фокальной осью 
у всех точек правой ветви гиперболы нолярный угол 
заключен в пределах
так что
