§ 9. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

Фокальный параметр находит свое применение и при выводе уравнений эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Этвыи уравнениями постоянно пользуются в астрономии и во многих вопросах механики.

Начало полярной системы координат помещаем в фокус F (левый в случае эллипса (рис. 96), правый в случае гиперболы (рис. 97) и в единственный фокус в случае параболы (рис. ); полярная ось направлена от полюса в сторону, противоположную от соответствующей директрисы d (т. е. так же, как направлена ось абсцисс в канонической для данной кривой системе координат).

Рис. 96.

Для любой точки М нашей кривой обозначаем через расстояние от М до фокуса F, через — расстояние от М до d. Наша кривая С есть геометрическое место точек М, для которых , т. е.

Но есть полярный радиус точки М. Вычислим . Обозначая через точку пересечения директрисы d с фокальной осью, а через проекцию точки на эту ось, видим, что есть длина вектора , лежащего на оси абсцисс (канонической системы).

Рис. 97.

Рис. 98.

Для алгебраических значений векторов на этой оси имеем

но

тогда как

где — угол наклона вектора FM к полярной оси, т. е. полярный угол точки М. На кривой С (в случае гиперболы на правой ее ветви) .

Подставляя в равенство (2) найденные значения входящих в нею величин, получаем

Наконец, подставляя это значение в (1), имеем

т. е. или

Это и есть уравнение параболы, эллипса и (ветви) гиперболы в полярных координатах.

Для параболы получаем просто

принимает все значения значение не годится, что и естественно, так как ему не соответствует никакая точка параболы.

В случае эллипса все значения хороши (так как всегда ).

Для гиперболы можно брать значения , для которых

где — (острый) угол между асимптотой и фокальной осью у всех точек правой ветви гиперболы нолярный угол заключен в пределах

так что