§ 9. Угол между прямой и плоскостью; угол между двумя плоскостями

Угол между прямой d и плоскостью есть, по определению, угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость . Это определение дает не один, а два угла (острый и тупой), дополняющие друг друга до (рис. 129); каждый из этих углов заключен между .

В зависимости от выбора направляющего вектора прямой d и нормального вектора к плоскости имеем всего четыре угла (рис. 130), образующие две пары вертикальных углов.

Обозначим через угол между любым направляющим вектором и прямой d и любым вектором , нормальным к плоскости.

Так как угол заключен между 0 и , то его синус неотрицателен, причем, как легко видеть, всегда

Если прямая d дана уравнением

а плоскость — уравнением

то угол между векторами находится по формуле

значит,

Условие перпендикулярности прямой (1) и плоскости (2) есть условие параллельности векторов и , т. е.

За угол между двумя плоскостями

и

принимаем угол между любыми двумя перпендикулярными к ним векторами (что опять дает дна угла, острый и тупой, дополняющие друг друга до ), например между

Рис. 129.

Рис. 130.

Получаем

Условием перпендикулярности двух плоскостей (2) и (2) является

Здесь может быть сделано замечание, аналогичное тому, которое было сделано в § 9 главы V, а именно: угол между векторами равен тому из двугранных углов, образуемых плоскостями (2) и (2), в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полупространствам, определяемым этими плоскостями. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству соответствующего утверждения из § 9 главы V (рис. 131).