ГЛАВА XXIV. ЕВКЛИДОВО n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

§ 1. Введение. Ортогональные матрицы

В n-мерном векторном пространстве мы можем говорить о линейной зависимости и независимости векторов, в n-мерном аффинном («точечно-векторном») пространстве мы, кроме того, можем говорить о параллельности подпространств; но ни о длине векторов, ни об углах между ними мы говорить не можем: у нас для этого нет нужных определений, да и сама геометрия аффинного пространства направлена на другое, даже если мы ограничимся пространством двух или трех измерений: в ней изучаются лишь так называемые аффинные свойства фигур, т. е. свойства, которые, принадлежа одной какой-нибудь фигуре, принадлежат всем фигурам, аффинно эквивалентным данной. Такими свойствами являются, например, свойство кривой или поверхности второго порядка быть (или не быть) центральной, или иметь прямую центров, или не иметь ни одного центра; свойство иметь (или не иметь) вещественные асимптотические направления, вещественные прямолинейные образующие и многие другие. Свойство кривой (или поверхности) второго порядка иметь данный малый ранг (или большой ранг R) также является аффинным.

С точки зрения аффинной геометрии все аффинные координатные системы равноправны: ведь переход от одной аффинной координатной системы к другой равносилен аффинному преобразованию пространства, а при таком преобразовании аффинные свойства лежащих в нем фигур остаются неизменными.

Ни длины векторов (т. е. расстояния между точками), ни углы между векторами не являются аффинными свойствами: пара взаимно перпендикулярных прямых при аффинном преобразовании может, как мы знаем, перейти в любую другую пару пересекающихся прямых (но не может перейти в пару параллельных).

Но при ортогональных преобразованиях, являющихся частным случаем аффинных, длины векторов и углы между ними остаются неизменными.

По отношению к ортогональным преобразованиям прямоугольные координатные системы исполняют ту же роль, какую любые аффинные системы координат исполняют по отношению к аффинным преобразованиям вообще; поэтому длины векторов и углы между нимн удобно рассматривать, именно пользуясь прямоугольными системами координат.

Создать в данном -мерном векторном (или точечно-векторном) аффинном пространстве возможность измерять длины векторов и углы между ними по образцу того, как это делается в обыкновенном трехмерном пространстве, — это и значит, как говорят, ввести в это пространство евклидову метрику, сделать его евклидовым пространством. Этим мы и будем сейчас заниматься.

Мы знаем, что квадратная матрица

называется ортогональной, если транспонированная матрица С совпадает с обратной т. е. если

(где, как всегда, Е — единичная матрица). Расписывая каждое из этих равенств согласно правилу умножения матриц, получаем два условия:

условие ортогональности по строкам

и условие ортогональности по столбцам

причем и то и другое условие предполагается выполненным для всех и

Каждое из этих условий эквивалентно условию ортогональности Из определения (1) ортогональности сразу следует, что детерминант ортогональной матрицы равен ±1. В самом деле, из (1) вытекает, что

откуда утверждение и следует. Далее, обратная матрица к ортогональной матрице ортогональна. В самом деле, требуется доказать, что

Но это равенство верно, так как и правая, и левая часть его есть С. Наконец, произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица. В самом деле,

Так как единичная матрица Е, очевидно, ортогональна, то ортогональные матрицы данного порядка образуют (по умножению) группу — подгруппу группы всех невырождающихся матриц порядка .

Определение 1. Пусть — два базиса в линейном пространстве Скажем, что эти базисы ортогонально эквивалентны, если матрица перехода от одного из них к другому есть ортогональная матрица.

Из только что доказанного следует, что отношение ортогональной эквивалентности удовлетворяет условиям рефлексивности, симметрии и транзитивности, так что все базисы пространства распадаются на непересекающнеся классы ортогонально эквивалентных между собою базисов.