Лекции по аналитической геометрии

Научная библиотека

Научная библиотека

Лекции по аналитической геометрии

Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука., 1968. - 912 с.

Эта книга представляет собой учебник аналитической геометрии в ее традиционном понимании, написанный на основании лекций, которые я в течение многих лет читал в Московском университете и которые пополнены, как это и сказано и заглавии, необходимыми сведениями из алгебры. Книгу эту, предназначенную для университетских студентов-первокурсников, я старался писать так, чтобы она была доступна каждому студенту — при единственном условии, что он вообще склонен к математике и желает серьезно заниматься ею.

Из вещей, не входящих в программу средних классов общеобразовательной школы, эти «Лекции» предполагают лишь знание комплексных чисел, так что книга может служить и целям самообразования; я думаю, что она доступна всем тем учащимся старших классов средней школы, которые любят математику, интересуются ею и готовы шаг за шагом ее изучать, не стремясь во что бы то ни стало начинать это изучение с постижения так называемых «последних слов науки».

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ
§ 1. Отношение отрезков
§ 2. Направленные отрезки (векторы); их отношение
§ 3. Ось. Алгебраическое значение (координата) вектора на оси
§ 4. Сложение векторов на прямой
§ 5. Система координат на прямой
§ 6. Деление отрезка в данном отношении
§ 7. Пропорциональность пар чисел
§ 8. Бесконечно удаленная точка прямой
§ 9. Пропорциональность двух последовательностей, состоящих из и чисел
ГЛАВА II. ВЕКТОРЫ
§ 1. Равенство векторов. Свободный вектор
§ 2. Линейные операции над векторами (сложение и умножение на число)
§ 3. Проекции
§ 4. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты вектора относительного данного базиса
§ 5. Линейная зависимость и независимость векторов
§ 6. Геометрический смысл линейной зависимости векторов
§ 7. Векторные многообразия
ГЛАВА III. АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Определение аффинной системы координат
§ 2. Перенос начала координат
§ 3. Деление отрезка в данном отношении
ГЛАВА IV. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
§ 1. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Уравнение окружности и сферы
§ 2. Скалярное произведение векторов; угол между двумя векторами
§ 3. Угол от одного вектора до другого на плоскости
§ 4. Полярная система координат на плоскости
§ 5. Полярная система координат в пространстве
ГЛАВА V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
§ 1. Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой (в произвольной аффинной системе координат). Уравнение прямой
§ 2. Расположение двух прямых на плоскости
§ 3. Частные случаи общего уравнения прямой
§ 4. Векторная и параметрическая форма уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
§ 5. Задача: когда прямая Ax+By+C=0 на плоскости проходит через точку пересечения двух заданных прямых A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0?
§ 6. Две полуплоскости, определяемые данной прямой на плоскости
§ 7. Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат. Нормальное уравнение прямой на плоскости
§ 8. Расстояние от точки до прямой (на плоскости)
§ 9. Углы, образуемые двумя прямыми на плоскости
§ 10. Прямая в пространстве, снабженном прямоугольной системой координат
ГЛАВА VI. ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
§ 1. Парабола
§ 2. Определение и каноническое уравнение эллипса
§ 3. Параметрическая запись уравнения эллипса; построение эллипса по точкам. Эллипс как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров
§ 4. Эллипс как проекция окружности и как сечение круглого цилиндра
§ 5. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы
§ 6. Основной прямоугольник и асимптоты гиперболы
§ 7. Директрисы эллипса и гиперболы
§ 8. Фокальный параметр эллипса и гиперболы. Уравнение при вершине
§ 9. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
ГЛАВА VII. ДЕТЕРМИНАНТЫ
§ 1. Плошадь ориентированного параллелограмма и треугольника
§ 2. Детерминант второго порядка. Матрицы
§ 4. Разложение детерминанта третьего порядка по элементам какой-либо строки. Приложение к системе трех уравнений с тремя неизвестными (правило Крамера)
§ 5. Системы трех уравнений с тремя неизвестными с детерминантом системы, равным нулю
§ 6. Арифметическое n-мерное векторное многообразие (пространство). Общее определение матрицы. Детерминанты любого порядка
§ 7. Разложение детерминанта n-го порядка по элементам данной строки (данного столбца)
§ 8. Правило Крамера для решений систем и уравнений с n неизвестными
§ 9. Общее определение миноров матрицы. Теорема Лапласа
§ 10. Умножение детерминантов
§ 11. Детерминант n-го порядка как линейная нечетная нормированная функция от n векторов
ГЛАВА VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. МАТРИЦЫ
§ 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой
§ 2. Перемножение матриц. Новое определение обратной матрицы
§ 3. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой
§ 4. Действия над матрицами в общем случае
ГЛАВА IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (ПРОДОЛЖЕНИЕ): ОРИЕНТАЦИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА; УГЛЫ ЭЙЛЕРА; ОБЪЕМ ОРИЕНТИРОВАННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА; ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
§ 1. Ориентация пространства (плоскости)
§ 2. Углы Эйлера
§ 3. Объем ориентированного параллелепипеда
§ 4. Векторное произведение двух векторов
ГЛАВА X. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнения плоскости
§ 2. Множество решений системы двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными
§ 3. Взаимное расположение двух плоскостей
§ 4. Прямая как пересечение двух плоскостей
§ 5. Пучок плоскостей
§ 6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
§ 7. О двух полупространствах, определяемых данной плоскостью
§ 8. Плоскость в прямоугольной системе координат; нормальное уравнение плоскости; расстояние от точки до плоскости
§ 9. Угол между прямой и плоскостью; угол между двумя плоскостями
§ 10. Две задачи
ГЛАВА XI. ДВИЖЕНИЯ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Определение движений и аффинных преобразований
§ 2. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований
§ 3. Аналитическое выражение аффинных преобразований
§ 4. Сохранение отношений площадей и объемов при аффинных преобразованиях
§ 5. Получение собственных аффинных преобразований посредством деформации тождественного преобразования. Следствия
§ 6. Движения как изометрические преобразования
§ 7. Преобразования подобия
§ 8. Классификация движений прямой и плоскости
ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (МНОГООБРАЗИЯ) ЛЮБОГО КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Определение векторного пространства
§ 2. Размерность. Базис. Координаты
§ 3. Теорема об изоморфизме между любыми двумя векторными пространствами одной и той же конечной размерности n
§ 4. Подпространства векторного пространства. Дальнейшие теоремы о линейной зависимости векторов и о базисе векторного пространства
§ 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств
§ 6. Линейные отображения векторных пространств
§ 7. Теорема о ранге матрицы
§ 8. Системы линейных однородных уравнения
ГЛАВА XIII. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ НА ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. Линейные функции
§ 2. Билинейные функции и билинейные формы
§ 3. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при переходе к новому базису (при преобразовании переменных)
§ 4. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной функции)
§ 5. Существование канонического базиса для всякой квадратичной и всякой билинейной функции («приведение квадратичных форм к каноническому виду»)
ГЛАВА XIV. ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНОЕ АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Определение n-мерного аффинного пространства
§ 2. Системы координат. Арифметическое пространство. Изоморфизм всех n-мерных пространств между собою
§ 3. r-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства; r-мерные параллелепипеды
§ 4. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты. Симплексы
§ 5. Системы линейных уравнений
§ 6. Аффинные преобразования n-мерного аффинного пространства
ГЛАВА XV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Определение алгебраических линий и поверхностей
§ 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат
§ 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей
§ 4. Комплексная плоскость
§ 5. Прямая линия на комплексной плоскости
§ 6. Замечание о действительных и мнимых линиях
§ 7. Комплексное пространство
§ 8. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения
§ 9. Несколько заключительных замечаний о линиях и поверхностях
ГЛАВА XVI. Различные виды кривых второго порядка
§ 1. О линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя неизвестными
§ 2. Инварианты многочлена второй степени
§ 3. Центральный случай
§ 4. Параболический случай
§ 5. Аффинная классификация кривых второго порядка
§ 6. Несколько заключительных замечаний
ГЛАВА XVII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Пересечение алгебраической кривой с прямой. Асимптотические направления и асимптоты алгебраической кривой
§ 2. Теорема единственности для кривых второго порядка. Пучок кривых второго порядка
§ 3. Асимптотические направления кривых второго порядка
§ 4. Пересечение кривой второго порядка с прямой иеасимптотического направления. Касательные
§ 5. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптотического направления. Геометрическая характеристика асимптотических и неасимптотических направлений
§ 6. Центр кривой второго порядка
§ 7. Диаметры кривой второго порядка
§ 8. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и касательные
§ 9. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные направления
§ 10. Второе доказательство теоремы единственности. О полноте системы ортогональных инвариантов
§ 11. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка
§ 12. Основная теорема об аффинных преобразованиях
ГЛАВА XVIII. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Распадающиеся поверхности
§ 2. Цилиндрические поверхности
§ 3. Конусы второго порядка
§ 4. Эллипсоиды и гиперболоиды
§ 5. Параболоиды
§ 6. Прямолинейные образующие
ГЛАВА XIX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ; АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ; КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ; ЦЕНТР)
§ 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена второй степени
§ 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью
§ 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Касательные прямые и касательная плоскость. Особые точки поверхности второго порядка
§ 4. Асимптотические направления, конус асимптотических направлений, прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
§ 5. Центр поверхности второго порядка
ГЛАВА XX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II (ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ; ОСОБЫЕ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ; АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ)
§ 1. Диаметральные плоскости. Особые направления
§ 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов
§ 3. Сопряженные направления
§ 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно координатной системы с сопряженными направлениями осей
§ 5. Теорема единственности
§ 6. Главные направления
§ 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка
§ 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка
ГЛАВА XXI. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
§ 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой
§ 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучел в связке
§ 3. Координаты прямой; арифметическая проективная плоскость; общее определение проективной плоскости
§ 4. Принцип двойственности для проективной плоскости
§ 5. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости
§ 6. Проективные преобразования и отображения проективной плоскости
§ 7. Проективные координаты на прямой. Проективные отображения прямой
§ 8. Двойное отношение
ГЛАВА XXII. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
§ 1. Определение. Теорема единственности
§ 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательные; асимптоты
§ 3. Пучок кривых второго порядка. Второе доказательство теоремы единственности. Теорема Паскаля. Теорема Штейнера
§ 4. Поляры и полюсы
§ 5. Коррелятивное, в частности полярное, соответствие. Тангенциальное уравнение кривой
§ 6. Диаметры как поляры несобственных точек
§ 7. Автополярный треугольник
§ 8. Проективная классификация кривых второго порядка
ГЛАВА XXIII. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые
§ 2. Проективные координаты. Проективные преобразования.
§ 3. Понятие об n-мерном проективном пространстве
§ 4. Поверхности второго порядка в проективном пространстве. Теорема единственности
§ 5. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью и с прямой. Касательные прямые. Касательная плоскость. Прямолинейные образующие
§ 6. Полюсы и полярные плоскости
§ 7. Проективная классификация поверхностей второго порядка
§ 8. Распределение по проективным классам поверхностей различных аффинных классов. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка
ГЛАВА XXIV. ЕВКЛИДОВО n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Введение. Ортогональные матрицы
§ 2. Положительно определенные симметричные билинейные функции в векторном пространстве
§ 3. Определение евклидовых пространств и простейших относящихся к ним понятий
§ 4. Неравенство Коши—Буняковского и его следствия. Углы
§ 5. Подпространства евклидовых пространств. Ортогональное дополнение к данному подпространству
ГЛАВА XXV. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора в любом векторном пространстве
§ 2. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства
§ 3. Движения трехмерного евклидова пространства
§ 4. Преобразования подобия. Дальнейшие проблемы
§ 5. Самосопряженные операторы
§ 6. Теорема о структуре произвольного линейного преобразования евклидова пространства
§ 7. Билинейные и квадратичные формы в евклидовых пространствах
§ 8. (n-1)-мерные многообразия (поверхности) второго поряд] в -мерном аффинном и евклидовом пространствах
ПРИБАВЛЕНИЕ. ПЕРЕСТАНОВКИ, МНОЖЕСТВА И ИХ ОТОБРАЖЕНИЯ; ГРУППЫ
§ 1. Перестановки
§ 2. Множества
§ 3. Отображения или функции
§ 4. Разбиение множества на подмножества. Отношение эквивалентности
§ 5. Определение группы
§ 6. Простейшие теоремы о группах
§ 7. Эквивалентность подмножеств данного множества по отношению к дайной группе его преобразований
ЗАДАЧИ
Задачи к главе IV
Задачи к главе V
Задачи к главе VI
Задачи к главе VIII
Задачи к главе IX
Задачи к главе X
Задачи к главе XI
Задачи к главе XII
Задачи к главе XIII
Задачи к главе XIV
Задачи к главе XV
Задачи к главам XVI и XVII
Задачи к главе XVIII
Задачи к главам XIX и XX
Задачи к главе XXI
Задачи к главе XXII