ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (МНОГООБРАЗИЯ) ЛЮБОГО КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Определение векторного пространства

В главе И, § 7, мы геометрически ввели понятие -мерного векторного многообразия для . Затем в § 6 главы VII мы определили для любого понятие -мерного арифметического векторного многообразия.

Общее понятие векторного многообразия, или, как мы теперь предпочитаем говорить, векторного пространства, вводится посредством следующего основного определения.

Определение 1. Векторное пространство есть множество V произвольных элементов, называемых векторами, удовлетворяющее следующим условиям векторного :

1. Для любых двух векторов , определен вектор , называемый суммой векторов их и обозначаемый через , При этом для любых двух векторов имеем:

а для любых трех векторов

(2)

2. В множестве V имеется элемент 0, называемый нулевым вектором, удовлетворяющий для любого вектора и условию

3. Ко всякому вектору имеется единственный вектор — , называемый противоположным вектору и удовлетворяющий условию

4. Для любого вектора и и любого действительного числа определен вектор , называемый произведением вектора на число . При этом для любых двух векторов имеем:

(5)

для любого вектора и любых двух чисел имеем:

(6)

и

(7)

Наконец,

Вот и все аксиомы векторного пространства.

Укажем на некоторые их простейшие следствия.

1° Из того, что вектор 0, удовлетворяющий условию для любого вектора и, существует, вытекает, что он единственный.

В самом деле, пусть существуют два «нулевых» вектора 0 и О, так что для любого вектора и имеем

В частности,

В силу коммутативности сложения отсюда вытекает, что , что и требовалось доказать.

2° Из того, что к каждому вектору и существует противоположный ему вектор — , удовлетворяющий условию (4), вытекает, что этот противоположный вектор единствен .

В самом деле, пусть к данному вектору и имеются два «противоположных» вектора и и , так что

Прибавим к обеим частям первого из этих двух равенств по вектору . Получим

Но , поэтому

т. е. .

Замечание 1. Из аксиомы 2 следует, что векторное пространство всегда есть непустое множество векторов.

Но состоять из одного нулевого вектора 0 оно может — это мы знаем уже из последнего параграфа главы II. В этом «нулевом» векторном пространстве действия таковы:

Замечание 2. Совокупность аксиом 1, 2, 3 может быть, очевидно, заменена одной аксиомой:

В множестве V определена операция сложения, по отношению к которой это множество является коммутативной группой (см. Прибавление, § 5).

Определим теперь разность двух векторов, полагая

так что для любого . Там как для чисел всегда , то из (6) следует

При отсюда следует

для любого вектора .

Далее,

для любого вектора .

В самом деле, принимая во внимание (8) и (9), имеем

откуда в силу аксиомы 3 следует (8).

Действия сложения векторов и умножения вектора на число называются кратко линейными операциями в данном векторном пространстве.

Из только что изложенного следует, что с векторами, элементами любого векторного пространства, можно оперировать совершенно так же, как с обыкновенными свободными векторами трехмерного пространства. В частности, понятия линейной зависимости и независимости, введенные нами в § 5 главы II, равно как и все доказанные там предложения относительно этих понятий, дословно (вместе с доказательствами) сохраняют свою силу в любом векторном пространстве.

Кроме того, очевидно, арифметическое -мерное векторное многообразие является частным случаем векторного пространства.

Закончим этот параграф важнейшим понятием изоморфизма между двумя векторными пространствами U и V.

Под изоморфизмом или изоморфным соответствием между пространствами U и V понимается такое взаимно однозначное соответствие

между множествами всех элементов (векторов) одного и другого пространства, которое удовлетворяет следующим двум условиям:

и

то и

II. Если

то при любом действительном X имеем

Коротко говоря: изоморфизм между двумя векторными пространствами есть взаимно однозначное соответствие между этими пространствами, сохраняющее линейные операции (точный смысл последних слов и означает как раз выполнение условий I и II).

Из условия 11 следует, в частности, что для любых двух векторов , , соответствующих друг другу при данном изоморфизме:

будем иметь

и

Так как есть нулевой вектор пространства U, а - нулевой вектор пространства V, то из (10) следует, что при изоморфном соответствии между двумя векторными пространствами их нулевые векторы соответствуют друг другу.

Так как , то из (11) вытекает: если

то

Читатель легко выведет из доказанного следующий общий факт.

Если при данном изоморфизме между векторными пространствами U и V имеем:

то при любых действительных числах имеем

Отсюда в свою очередь легко вытекает, что при изоморфном соответствии между двумя векторными пространствами линейно зависимые системы векторов одного пространства соответствуют линейно зависимым системам другого , значит, линейно независимым системам одного пространства соответствуют линейно независимые системы другого).

Замечание 3. В предыдущих рассуждениях ничего бы не изменилось, если бы в аксиоме 4 мы допустили любые комплексные числа , т. е. сформулировали бы эту аксиому так: для любого вектора и любого комплексного числа определен вектор — и далее, как в основном тексте. Это изменение в формулировке аксиомы 4 (с сохранением всех остальных аксиом) привело бы нас к определению комплексного векторного пространства. Все результаты этой главы применимы в равной степени и к действительным, и к комплексным векторным пространствам.