Первый или второй случай наступает в зависимости от знака того множителя, на который надо почленно помножить одно уравнение, чтобы получить другое.
Рис. 124.
Совершенно так же, как в § 6 главы V, доказывается Теорема 7. Если точки 
лежат в разных полупространствах, определяемых плоскостью (1), то отрезок 
пересекает плоскость; если же точки 
лежат в одном и том же полупространстве, то в этом же полупространстве лежит и весь отрезок 
(рис. 124).
Рис. 125.
Наглядный смысл этой теоремы таков же, как в случае аналогичной теоремы о двух полуплоскостях, определяемых на плоскости данной прямой. Плоскость (1) не может быть параллельна сразу всем трем координатным осям. Пусть, например, она не параллельна оси 
. Тогда каждая точка 
, не лежащая на плоскости (1), лежит «выше» или «ниже» этой плоскости — в следующем смысле. Через точку 
проходит единственная прямая, параллельная оси 
она пересекает плоскость (1) в некоторой точке 
(рис. 125).
Если 
говорим, что точка 
лежит выше плоскости (1); если же 
то говорим, что точка 
лежит ниже плоскости (1). Совершенно так же, как в § 6 главы V, доказывается
Теорема 8. Все точки пространства, лежащие выше плоскости (1), образуют одно из двух полупространств, на которые эта плоскость разбивает пространство; все точки, лежащие ниже плоскости (1), образуют второе полупространство.
Наконец, имеет место и теорема, аналогичная теореме 4 главы V и доказываемая совершенно так же, как эта последняя.
Теорема 9. Если плоскость 
. задана уравнением (1), то вектор 
, приложенный к какой-либо точке 
этой плоскости (рис. 126), направлен в положительное полупространство относительно уравнения 
задана уравнением
разбивает пространство на два полупространства, одно из которых состоит из всех точек 
, для которых 
другое — из всех точек 
, для которых 
. Первое полупространство называется положительным, второе — отрицательным по отношению к данному уравнению (1) плоскости 
. При переходе к какому-нибудь другому уравнению той же плоскости оба полупространства могут или остаться неизменными, или поменяться местами: положительное полупространство для одного Уравнения сделается отрицательным для другого.
