§ 5. Система координат на прямой
Пусть теперь на нашей прямой не только дан единичный вектор, но и выбрана определенная точка 
или «нулевая» точка. Тогда мы говорим, что на прямой выбрана система координат.
Определение. Координатой точки М называется алгебраическое значение (координата) вектора ОМ.
Теперь не только каждый вектор, но и каждая точка имеет вполне определенную координату.
Ставя в соответствие каждой точке прямой ее координату, мы получаем взаимно однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми вещественными числами. Поэтому прямая, на которой установлена некоторая система координат, называется числовой прямой. Начальная точка О и только она имеет координату нуль; на одной из двух полупрямых, на которые начальная точка разбивает прямую, координаты всех точек положительны, на другой — отрицательны: мы говорим о положительной и отрицательной полупрямой числовой прямой.
Следующее простое замечание важно:
9. Координата вектора 
равна координате его конца В минус координата его начала А.
В самом деле, пусть координата вектора и есть 
, координата точки А есть 
, а координата точки В есть 
. Мы это записываем так:
Тогда
По лемме Шаля имеем
т. е. 
, откуда 
что и требовалось доказать.
