ГЛАВА VII. ДЕТЕРМИНАНТЫ

§ 1. Плошадь ориентированного параллелограмма и треугольника

Треугольник и параллелограмм называются ориентированными, если они снабжены определенным направлением обхода их контура (это направление и называется ориентацией параллелограмма или треугольника).

Если рассматривать параллелограмм как построенный на двух данных векторах и (рис. 99), исходящих из одной и той же вершины, то выбор той или иной ориентации нашего параллелограмма равносилен указанию, какой из векторов ОА и ОВ является первым, а какой — вторым. В самом деле, если дана ориентация, т. е. направление обхода контура параллелограмма, то первым будет называться тот из двух векторов ОА, ОВ, направление которого совпадает с выбранным направлением обхода; обратно, если один из двух векторов ОА, ОВ выбран в качестве первого, то его направление считается задающим направление всего обхода.

Рис. 99.

Задав направление обхода параллелограмма, мы этим задаем и некоторое определенное направление вращения на плоскости — то направление, в котором вращается луч, исходящий из центра параллелограмма и направленный в точку, совершающую обход параллелограмма в заданном направлении. Обратно, если задано направление вращения на плоскости, то этим задано и определенное направление обхода всякого параллелограмма, лежащего в этой плоскости, т. е. задана его ориентация.

Предположим теперь, что на плоскости одно из двух возможных направлений вращения выбрано в качестве положительного; предположим, что независимо от этого выбора на той же плоскости задан ориентированный параллелограмм, построенный на векторах (пусть первый вектор при этой ориентации есть , а второй .

Если заданное этой ориентацией направление обхода параллелограмма совпадает с положительным направлением вращения на плоскости, то ориентацию параллелограмма назовем положительной, в противном случае она называется отрицательной.

Если ориентация параллелограмма положительна, то угол а от первого вектора до второго (считаемый в положительном направлении вращения на плоскости) будет для отрицательно ориентированного параллелограмма этот угол (рис. 100). Поэтому число

положительно или отрицательно в зависимости от того, является ли ориентация параллелограмма (построенного на векторах ) положительной или отрицательной. Модуль числа , очевидно, равняется площади (в элементарно геометрическом смысле) данного параллелограмма; поэтому само это число естественно назвать площадью ориентированного параллелограмма (построенного на данных векторах); знак площади ориентированного параллелограмма совпадает со знаком его ориентации.

Рис. 100.

Если векторы заданы своими координатами

то (как мы видели в главе четвертой)

и, следовательно,

Площадь ориентированного треугольника (построенного на векторах определяется аналогичным образом; она равна половине площади ориентированного параллелограмма, построенного на тех же векторах.