ГЛАВА I. КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ

§ 1. Отношение отрезков

Если даны два прямолинейных отрезка АВ и EF, то определено вещественное число (рациональное или иррациональное), показывающее, сколько раз отрезок EF укладывается в отрезке АВ: именно, если существует такое натуральное число n, что часть отрезка укладывается без остатка, положим, m раз, в отрезке АВ, то есть рациональное число — если же такого натурального числа n нет, то есть иррациональное число, к которому с любой точностью можно приблизиться рациональными числами: взяв как угодно большое натуральное число n, мы найдем такое натуральное число m, что часть отрезка EF уложится раз на отрезке АВ с некоторым остатком, а раз уже не уложится. Взяв n достаточно большим, можно достигнуть того, что рациональное число со сколь угодно малой ошибкой приближает искомое иррациональное X. Число к называется отношением отрезка АВ к отрезку EF. Если оно равно 1 (и только в этом случае), то отрезки равны (конгруэнтны) между собою. Если отрезок EF примят за единицу измерения длин, то число X есть длина отрезка АВ, измеренная посредством этой единицы измерения.

Все это содержится в курсе средней школы; однако любознательный и критически настроенный читатель может испытать беспокойство при пользовании такими словами, как «укладывание» одного отрезка в другом, «с остатком» или «без остатка» и т. п. Понятиям, выражаемым этими словами, не дается точного определения. Это беспокойство устраняется аксиоматическим построением геометрии. Правда, при этом тоже приходится пользоваться понятиями, которые никак не определяются (например, понятием совмещения двух отрезков или их конгруэнтности), а также утверждениями (аксиомами), которые никак не доказываются.

Но при аксиоматическом построении геометрии но крайней мере дается точный и полный перечень всех «первоначальных» (т. е. не подлежащих определению) понятий и всех не подлежащих доказательству утверждений (аксиом). После того как этот перечень сделан, все остальное доказывается уже посредством строгих логических рассуждений; кроме того, доказывается, что принятая исходная система предложений (а следовательно, и все, что из нее выводится посредством дальнейших рассуждений) не содержит противоречия, не может привести ни к какому нелепому выводу.

Эту цель строго аксиоматического построения геометрии наши лекции себе не ставят. Такое построение геометрии составляет содержание отдельной геометрической дисциплины, называемой «основаниями геометрии». Мы же будем употреблять элементарные геометрические понятия в том наивном смысле, в каком они употребляются в школьном курсе геометрии, зная, что под них можно подвести безупречное аксиоматическое основание.

Мы не будем также определять вещественные (действительные) числа, хотя будем ими постоянно пользоваться: подробная теория вещественных чисел излагается в первых главах любого современного курса анализа, и читатель должен ее хорошо знать.