Задачи к главе XXII

Задача 94. Дана парабола

и гипербола

Найти точку, поляры которой относительно обеих кривых совпадают.

Решение. Пусть — искомая точка. Поляры этой точки относительно данных кривых будут соответственно

Так как поляры искомой точки относительно обеих кривых должны совпадать, то

откуда

Несобственной точки получиться не может, так как диаметры параболи параллельны асимптоте гиперболы.

Задача 95. Написать уравнение линии второго порядка, касающейся сторон базисного треугольника в его вершинах и проходящей через единичную точку В.

Решение. Пусть

— искомая лииия. Так как прямая — поляра точки

то ее уравнение может быть записано в виде

Но эта же прямая определяется уравнением

Отсюда следует, что

Поэтому уравнение кривой (1) может быть записано в виде

Так как, далее, точки

принадлежат кривой, то

и уравнение (2) принимает вид

По предположению точка

принадлежит кривой, что дает

н потому уравнение (3) переписывается в виде

или, ввиду , уравнение кривой окончательно имеет вид

Задача 96. Около треугольника описана линия второго порядка. В вершинах треугольника к этой линии проведены касательные. Показать, что три точки пересечения сторон треугольника с касательными в противоположных вершинах лежат на одной прямой.

Решение. Примем треугольник вписанный в кривую, за базисный треугольник проективной системы координат.

В этой системе уравнение кривой будет иметь вид

Так как то разделим обе части уравнения (1) на

и напишем полученное уравнение в виде

Полагая

что соответствует выбору новой единичной точки, перепишем уравнение (1) так:

Уравнение касательной к этой кривой в точке будет

а точка ее пересечения со стороной противолежащей вершине и определяющейся уравнением

будет

Точно так же найдем точку пересечения касательной в вершине с противолежащей ей стороной . Это будет точка

Точка пересечения касательной в вершине со стороной будет

Чтобы показать, что три точки лежат на одной прямой, составим определитель из их координат:

Он равен нулю, значит, точки лежат на одной прямой.

К главе XXV

Задача 97. Пусть

- матрица ортогонального преобразования.

Доказать, что:

1) если это ортогональное преобразование — вокруг прямой, то косинус угла поворота определяется из соотношения

2) если данное преобразование является произведением симметрии относительно плоскости на поворот вокруг прямой, перпендикулярной к этой плоскости, то косинус угла поворота определяется из соотношения

Доказательство. 1) Примем ось вращения за ось z новой прямоугольной системы координат . В этой системе формула поворота будет иметь вид

а матрица преобразования будет

Пользуясь инвариантностью следа матрицы линейного преобразования при переходе от одной системы координат к другой, можем написать

откуда

2) Примем ось вращения за ось , а плоскость симметрии за плоскость новой прямоугольной системы координат . В этой системе формулы преобразования будут иметь вид

а матрица преобразования будет

Применяя теорему об инвариантности следа матрицы линейного преобразования относительно перехода от одной системы координат к другой, будем иметь

откуда

Задача 98. Доказать, что если — произвольный вектор ориентированного пространства, — его образ при повороте пространства вокруг оси с данным направляющим вектором , то тройка векторов имеет одну и ту же ориентацию независимо от выбора вектора .

Доказательство. Введем в пространстве прямоугольную систему координат, принимая за положительное направление оси z направление вектора , и обозначим через угол поворота. Тогда формулы поворота будут иметь вид

Пусть — произвольный вектор пространства, — его образ при данном повороте. Вычислим определитель, составленный из координат векторов :

Мы видим, что знак определителя, составленного из координат векторов , не зависит от выбора вектора и, причем это верно не только в рассмотренной системе координат, и во псякой другой, так как этот определитель есть смешанное произведение векторов а, инвариантных по самому своему определению. Это означает, что ориентация тройки векторов не зависит от вектора , а определяется заданным преобразованием и выбором положительного направления на оси вращения.

Будем называть вращение вокруг оси с направляющим вектором а положительным, если тройка векторов имеет положительную ориентацию, в противном случае будем считать вращение отрицательным.

Задача 99. Дано ортогональное преобразование

Найти единичный направляющий вектор неподвижной прямой, определяющий положительное направление вращения и угол поворота (см. задачи 97 и 98).

Решение. Матрица преобразования

является ортогональной с определителем Следовательно, данное преобразование — поворот вокруг некоторой прямой. Выберем такой единичный направляющий вектор этой прямой, чтобы рассматриваемое вращение было положительным Для этого определим сначала какой-нибудь вектор лежащий на неподвижной прямой. Так как такой вектор при ортогональном преобразовании остается неизменным, то его координаты удовлетворяют следующей системе уравнений:

или

Определитель этой системы

Следовательно, система имеет ненулевое решение, например, .

Возьмем какой-нибудь вектор, не коллинеарный вектору например вектор и найдем его образ и при данном преобразовании:

Детерминант, составленный из координат векторов

Следовательно, вектор определяет такое направление оси, что данное ортогональное преобразование оказывается положительным вращением вокруг этой оси.

Чтобы получить единичный направляющий вектор оси, нормируем вектор

откуда искомый вектор

Косинус угла поворота найдем из соотношения

Б рассматриваемом случае

Если перейти к новому ортонормироваиному базису

приняв в качестве вектор а, то в новом базисе формулы преобразования будут иметь вид

Задача 100. Выяснить геометрический смысл преобразования

Решение. Матрица преобразования

ортогональная с определителем Поэтому данное преобразование является композициен поворота вокруг прямой и переноса в направлении этой прямой.

Таким образом, мы должны найти: 1) вектор переноса в направлении оси вращения; 2) точку на оси вращения; 3) определить, будет ли вращение положительным или отрицательным, если за направление оси принять направление вектора переноса, и 4) найти угол поворота.

Найдем сначала какой-нибудь направляющий вектор оси вращения. Его координаты определяются из системы уравнений

или

Решением этой системы будут, например, числа 1, 2, 0. Следовательно, вектор является направляющим вектором оси вращения.

1) Вектор переноса v в направлении оси вращения найдем как ортогональную проекцию на эту ось вектора координатами которого служат свободные члены в правых частях формул, определяющих данное преобразование:

2) Точку на оси вращения найдем, используя то обстоятельство, что ее образ также лежит на оси вращения, причем вектор . Поэтому

или

Вставляя эти значения в формулы, определяющие данное преобразование, получим систему уравнений для нахождения координат точки на оси вращения:

Решением этой системы могут служить, например, числа 6, 0, 3. Таким образом, точка А с координатами 6, 0, 3 лежит на оси вращения.

3) Чтобы определить направление вращения, возьмем какой-нибудь век тор, не коллинеарньш с вектором переноса, например вектор

н найдем его образ:

Составим детерминант из координат векторов

Так как детерминант положителен, то и вращение вокруг оси, направляющи вектором которой является вектор переноса, будет положительным.

4) Угол поворота найдем из соотношения

В нашем случае

Если за начало новой прямоугольной системы координат пр пять какую-нибудь точку О неподвижной прямой, а за положительное и правление новой оси вектор переноса вдоль новой оси, то в новой си теме координат формулы преобразования будут иметь вид

Задача 101. Выяснить геометрический смысл преобразования

Решение. Матрица преобразования

ортогональная с определителем —1; ее след равен ; следовательно, преобразование представляет собой произведение симметрии относительно плоскости на поворот вокруг оси, перпендикулярной к плоскости симметрии.

Точка пересечения плоскости симметрии и оси вращения остается при данном преобразовании неподвижной, поэтому ее можно найти из системы уравнений

Решая ее, найдем:

Направляющий вектор оси вращения найдем как собственный вектор линейного преобразования

соответствующий собственному значению —1, из следующей системы уравнений;

Решением этой системы могут служить, например, числа 1, 1, —7.

Эти же числа могут служить и коэффициентами при неизвестных в уравнении плоскости симметрии. Так как, кроме того, известна точка то уравнение плоскости симметрии может быть записано в виде

или

Угол поворота найдем из соотношения

В нашем случае

Найдем на оси вращения такой вектор, чтобы вращение вокруг этой оси было положительным. Для этого возьмем какой-нибудь вектор и, не коллинеариын оси вращения, например найдем его образ и при линейном однородном преобразовании, соответствующем данному преобразованию:

составим детерминант из координат векторов :

Значит, для того чтобы вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости симметрии было положительным, нужно за положительное направление этой оси взять вектор

Если за начало новой прямоугольной системы координат взять точку пересечения плоскости симметрии и оси вращения, а за положительное направление оси принять направление вектора то в новой системе координат данное преобразование будет иметь вид

Задача 102. Выяснить геометрический смысл преобразования

Решение. Матрица преобразования

ортогональная с определителем —1; ее след равен 1; следовательно, преобразование является произведением симметрии относительно плоскости на перенос в направлении, параллельном плоскости симметрии.

Найдем прежде всего (какой-нибудь) вектор , перпендикулярный плоскости симметрии, как собственный вектор линейного оператора

соответствующий собственному значению —1, из следующей системы:

Решением этой системы могут служить, например, координаты вектора

Вектор переноса V найдем как ортогональную проекцию на плоскость симметрии вектора

координатами которого являются свободные члены правых частей формул данного преобразования. Вектор нормален к плоскости симметрии. Представим вектор в виде

умножая это равенство скалярно на и принимая во внимание, что

получим

откуда

Вставляя сюда координаты векторов , найдем, что и, следовательно,

Если — произвольная точка плоскости симметрии ее образ при данном преобразовании, то

Вставляя эти значения в формулы, определяющие данное преобразование, и упрощая, например, первое из получаемых равенств:

получим уравнение плоскости симметрии

Если принять плоскость симметрии за плоскость новой прямоугольной с стемы координат взяв за положительное направление оси абсцисс направление вектора переноса, то в новой системе формулы преобразования примут вид

Задача 103. Доказать, что при подобном преобразовании -мерного пространства с коэффициентом подобия всегда существует неподвижная точка, и притом только одна.

Доказательство. Докажем утверждение для случая трехмерного пространства; в обшем случае доказательство такое же. Так как преобразование подобия может быть представлено как композиция преобразований гомотетии, поворота и переноса, то в прямоугольных координатах оно может быть записано в следующем виде:

где ( - ортогональная матрица.

Если точка этого преобразования, то для нее

и, значит, координаты такой точки удовлетворяют системе уравнений

или

Для того чтобы эта система имела решение, и притом единственное, необходимо и достаточно, чтобы определитель

был отличен от нуля. Но если бы этот определитель обратился в нуль, то имело бы место равенство

Значит, значение матрицы . Но это невозможно, так как матрица ортогональная и, следовательно, ее собственные значения абсолютной величине равны 1, а по предположению

следовательно, и

Таким образом, предположение, что определитель (1) равен нулю, привело нас к противоречию, из чего мы должны заключить о справедливости утверждения теоремы.