ГЛАВА II. ВЕКТОРЫ

§ 1. Равенство векторов. Свободный вектор

Два вектора АА и ВБ, расположенные где угодно в пространстве, называются равными между собою, если один из них, например АА, можно совместить с другим, ВВ, посредством параллельного переноса («сдвига»), т. е. движения, состоящего в том, что вектор АА скользит параллельно самому себе так, что точка А скользит по отрезку АВ, а точка А — по отрезку В (рис. 4).

Рис. 4.

Если векторы АА и ВВ лежат на одной прямой, то по этой же прямой происходит и скольжение, совмещаюшее АА с ВВ, и мы получаем уже данное в первой главе определение равных векторов (на прямой).

Если же равные векторы АА и ВВ не лежат на одной прямой, то при совмещении вектора АА с вектором ВВ посредством параллельного переноса вектор АА зачертит параллелограмм ААВВ, в котором векторы АА и ВВ будут противоположными сторонами.

Поэтому определение равенства векторов может быть сформулировано и так:

Два вектора АА и ВВ, лежащие на одной и той же прямой, равны, если их отношение равно 1.

Два вектора АА и ВВ, не лежащие на одной прямой, равны, если, соединяя прямолинейными отрезками их начальные точки А и В и их концевые точки А и В, мы получим параллелограмм , в котором эти векторы будут двумя противоположными сторонами.

Два равных вектора могут отличаться друг от друга только своими точками приложения, и в большинстве тех случаев, с которыми нам придется иметь дело, это отличие несущественно; мы будем поэтому считать, что вектор ВВ, равный вектору АА, — это тот же вектор АА, но только перенесенный в другое место, а именно приложенный к точке К. Отвлекаясь, таким образом, от точки приложения вектора, мы приходим к тому, чтобы весь класс равных между собою векторов , приложенных ко всевозможным точкам М пространства, рассматривать как новый математический объект, и этот объект мы называем свободным вектором, определенным каждым из равных между собою векторов, составляющих данный класс (рис. 5).

Мы будем часто иисать . и понимать иод и как любой из равных между собою векторов АА, ВВ и т. д., так и весь образованный ими класс, т. е. свободный вектор.

Предположим теперь, что каждая точка М пространства сдвинулась вдоль приложенного к ней вектора (одного и того же для всех точек М) и переместилась в точку М. Мы получаем сдвиг, или параллельный перенос, всего пространства (в себе) на вектор .

Таким образом, возникает взаимно однозначное соответствие между сдвигами пространства и свободными векторами, позволяющее отождествить между собою эти два понятия.

Множество всех векторов, лежащих на дайной прямой (или на данной плоскости), естественно, тоже распадается на классы равных между собою векторов, называемых свободными векторами данной прямой или плоскости; они могут быть отождествлены со сдвигами этой прямой (или плоскости) по себе самой.

Нулевой вектор определяет нулевой (или «тождественный») сдвиг, состоящий в том, что все точки пространства остаются неподвижными на своих местах.

Рис. 5.