Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
ГЛАВА VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. МАТРИЦЫ
§ 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой
1. Переход от одной аффинной системы координат к другой с тем же началом. Переход от одного базиса к другому. Матрица, обратная к данной. Как мы знаем, аффинная координатная система, или, как мы будем кратко говорить, аффинный репер, в пространстве есть тройка некомпламарных векторов
, данных в определенном порядке и приложенных к точке О — началу репера.
Тройка векторов
называется иногда базисом репера (или координатной системы); название основано на том, что эти векторы образуют базис многообразия всех (свободных) векторов трехмерного пространства.
Если наряду с репером
, который будем условно называть «старым», дан «новый» репер с началом О и базисом
, то возникает общая задача преобразования координат, сформулированная еще в главе III, § 2: по координатам произвольной точки М (произвольного вектора
в одной из двух систем координат найти координаты той же точки (того же вектора) в другой системе. Простейший случай этой задачи — когда оба репера имеют один и тот же базис
и отличаются между собою только началом — уже был рассмотрен в главе III, § 2. Предположим теперь, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы
, своими координатами (относительно старого базиса), т. е. если даны коэффициенты
в равенствах
Матрица
называется матрицей перехода от базиса
к базису
, а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы
линейно независимы, то детерминант матрицы
отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырождающаяся матрица. Так как векторы
образуют базис, то каждый из векторов
в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векторов
:
— уравнения (1) однозначно разрешимы относительно старых единичных векторов
.
Посмотрим, как связаны между собою координаты х, у, z и
произвольной точки М (произвольного вектора
) в старой и новой координатных системах.
Вектор и — ОМ записывается, во-первых, как линейная комбинация векторов
с коэффициентами х, у, z и, во-вторых, как линейная комбинация векторов
с коэффициентами
, так что имеем тождество
Вносим в это тождество выражения
из (1); получаем
или, группируя по новому члены,
Но вектор и единственным образом представляется как линейная комбинация векторов
, следовательно, коэффициенты при векторах
в левой и правой частях последнего равенства должны быть одни и те же, т. е.
Эти формулы и выражают старые координаты х, у, z точки М (вектора и) через новые. Матрица
дающая это выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению к матрице А перехода от базиса
к базису
. Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант. Следонательно, уравнения (2) однозначно решаются относительно
по правилу Крамера:
Разлагая в этих формулах числители по элементам столбца х, у, z, получаем
где
есть адъюнкта элемента
в матрице А.
Определение. Пусть матрица А — невырождающаяся матрица. Матрица
где
определены формулами (3), называется матрицей, обратной к матрице
и обозначается через
. Другими словами: если матрица А выражает координаты х, у, z (т. е. координаты относительно базиса
) через координаты
(относительно базиса
), то обратная матрица определяется как матрица, выражающая координаты
, через координаты х, у, z, причем безразлично, понимаем ли мы под координатами координаты точки или вектора.
2. Переход от одной аффинной системы координат к другой с изменением начала координат. Общий случай перехода от репера
к реперу
сводится к комбинации двух случаев: переноса начала (гл. III, § 2) и только что разобранного случая перехода от одного базиса к другому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами
еще третий, «промежуточный», имеющий начало
и базис
координаты точки относительно этого промежуточного репера обозначим через
. Тогда
, где
выражаются через
по формулам (2) (в которых, естественно, надо
(слева) соответственно заменить на
). Получаем окончательно: в пространстве:
на плоскости:
Это и есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем.
Матрица
коэффициентов
в равенствах (43), соответственно (42), называется матрицей преобразования координат.
3. Уравнение гиперболы относительно ее асимптот. Пусть гипербола дана в канонической для нее системе координат
уравнением
(рис. 101). Переходим к новому реперу
, где
(т. е. принимаем за новые единичные векторы орты, направленные по асимптотам гиперболы)
и, следовательно,
т. е.
внося эти выражения
через
в уравнение (5), получаем после очевидных преобразований
Это уравнение называется естественным уравнением гиперболы относительно ее асимптот (ставших осями новой аффинной координатной системы).
Рис. 101.
В частности, для равносторонней гиперболы
имеем
(см.
).
Если в общем случае произвольной шперболы принять за новые оси ее асимптоты, не налагая никаких ограничений на длины единичных векторов, то уравнение гиперболы будет иметь вид
Число к может быть любым действительным числом, отличным от нуля.