2.3. Действия над векторами. Скалярное произведение

Произведение вектора на число. Сумма и разность векторов. Произведением вектора а на число к называется вектор коллинеарный вектору а, имеющий модуль и направленный одинаково с а, если и противоположно а при Если то

Суммой векторов а и называется вектор который строится следующим образом. Сначала с помощью параллельного переноса вектора совмещают его начало с концом вектора а. Сумма векторов а — «замыкающий» вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора (правило треугольника, рис. 7).

Рис. 7.

Разность векторов определяется как сумма векторов . Если то

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется пулевым и обозначается 0. Очевидно, для любого вектора а.

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:

В декартовых координатах:

Свойства скалярного произведения:

— число.

(эту величину обозначают также

Скалярные произведения ортов:

Угол между векторами. Угол межу вектором и осями координат. Угол между векторами определяется из соотношения

Условие перпендикулярности двух векторов. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Условие параллельности (коллинеарности) двух векторов. Векторы параллельны тогда и только тогда, когда или .

Проекция вектора на направление вектора а, равная вычисляется по формуле

Пример. Определить угол А треугольника с вершинами

Решение. Имеем Тогда

Косинусы углов между вектором а и осями координат соответственно называются направляющими косинусами вектора а. Отметим, что