4.2. Элементарные функции и их графики

Основные элементарные функции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Ниже перечислены основные свойства и приведены графики основных элементарных функций.

Степенная функция: , а — любое.

Случай 1: , где — натуральное число

Рис. 10.

Область определения: х — любое. Область изменения: . Функция четная, непериодическая, неограниченная. Пересекает ось и касается оси в начале координат: На интервале убывает, на интервале возрастает. Имеет минимум при График функции (парабола) представлен на рис. 10 слева.

Случай где — натуральное число. Область определения: х — любое. Область изменения: у — любое. Функция нечетная, непериодическая, неограниченная. Пересекает оси в начале координат: Возрастает на всей числовой прямой. Экстремумов не имеет. График функции (кубическая парабола) представлен на рис. 10 слева.

Случай 3: , где — натуральное число. Область определения: Область изменения: Функция четная, непериодическая, неограниченная. Пересечений с осями координат не имеет. На интервале возрастает, на интервале убывает. Экстремумов не имеет. График функции приведен на рис. 10 справа.

Случай где — натуральное число. Область определения: Область изменения: у — любое. Функция нечетная, непериодическая, неограниченная. Не имеет пересечений с осями координат. Убывает на всей числовой оси. Экстремумов не имеет. График функции приведен на рис. 10 справа.

Случай 5: а — нецелое число. Графики некоторых функций этого вида показаны на рис. 11.

Показательная функция: Область определения: х — любое. Область изменения: Функция не является ни четной, ни нечетной; непериодическая, неограниченная.

Рис. 11.

Пересекает ось при ось не пересекает. Возрастает на всей числовой прямой при и убывает при экстремумов не имеет (рис. 12 слева).

Рис. 12.

Логарифмическая функция: Область определения: Область изменения: у — любое. Функция не является ни четной, ни нечетной; непериодическая, неограниченная. Пересекает ось при ось не пересекает. Возрастает на всей числовой прямой при и убывает при экстремумов не имеет (рис. 12 справа).

Тригонометрические функции.

Синус Область определения: х — любое. Область изменения: Функция нечетная, периодическая с периодом , ограниченная. Пересекает ось в точке ось — в точках Возрастает на каждом из отрезков и убывает на каждом из отрезков . В точках имеет максимумы в точках — минимумы График функции называется синусоидой и изображен на рис. 13 слева.

Рис. 13.

Косинус Область определения: х — любое. Область изменения: Функция четная, периодическая с периодом , ограниченная. Пересекает ось в точке ось — в точках Функция возрастает на каждом из отрезков и убывает на каждом из отрезков в точках имеет максимумы (), в точках — минимумы График функции представляет собой синусоиду, сдвинутую относительно графика влево вдоль оси на величину у (рис. 13 справа).

Тангенс Область определения: Область изменения: у — любое. Функция нечетная, периодическая с периодом неограниченная. Пересекает ось в точке — в точках Функция возрастает на каждом из интервалов экстремумов не имеет. График функции изображен на рис. 14.

Рис. 14.

Котангенс Область определения: Область изменения: у — любое. Функция нечетная, периодическая с периодом неограниченная. Пересекает ось в точках ось не пересекает. Функция убывает на каждом из интервалов экстремумов не имеет.

Обратные тригонометрические функции.

Арксинус Область определения: . Область изменения: . Функция нечетная, непериодическая, ограниченная, пересекает оси в начале координат: Функция возрастает на всей области определения, экстремумов не имеет (хотя в точке принимает наименьшее значение а в точке наибольшее значение График функции представлен на рис. 15. При всех х из области определения имеет место равенство

Рис. 15.

Арккосинус Область определения: ]. Область изменения: . Функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая, ограниченная, пересекает ось в точке , а ось — в точке х — Функция убывает на всей области определения, экстремумов не имеет (хотя в точке х = - 1 принимает наибольшее значение , а в точке х = 1 — наименьшее значение ). График функции изображен на рис. 15.

Арктангенс Область определения: х — любое. Область изменения: Функция нечетная, непериодическая, ограниченная, пересекает оси в начале координат: Функция возрастает на всей числовой прямой, экстремумов не имеет. График функции изображен на рис. 15.

Арккотангенс Область определения: х — любое. Область изменения: . Функция не является ни четной, ни нечетной; она непериодическая, ограниченная, пересекает ось в точке ось не пересекает. Функция убывает на всей числовой прямой, экстремумов не имеет. При всех х имеет место равенство

Функция называется элементарной, если она может быть получена с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций над основными элементарными функциями.