4. Колебания и волны

4.1. Гармонические колебания. Сложение колебаний

Общие определения. Колебаниями называют такое изменение состояния системы, при котором параметры состояния меняются со временем по периодическому или почти периодическому закону. Если колебания происходят под воздействием внешнего периодического воздействия, то их называют вынужденными. Если колебания происходят без внешних воздействий, за счет отклонения системы от устойчивого положения равновесия, то их называют свободными или собственными. Кодебания характеризуются периодом Т и частотой (измеряется в герцах: Гц).

Гармонические колебания. Колебания величины х называют гармоническими, если она меняется со временем по закону:

где А — амплитуда колебаний, — — фаза колебаний, — начальная фаза, — или круговая, частота колебаний. Первая и вторая производные величины по времени

совершают гармонические колебания с такой же частотой, но с амплитудами и и со сдвигом по фазе на соответственно.

Пример. Если известны начальные (при значения величины и ее производной: то можно определить амплитуду и начальную фазу колебаний. Из уравнений находим

Уравнение гармонических колебаний. Как видно из (2), если величина изменяется по закону гармонических колебаний (1), то она удовлетворяет уравнению гармонических колебаний:

Верно и обратное утверждение: если уравнение движения физической системы, состояние которой определяется одной величиной х, удалось при некоторых условиях (обычно — при малых значениях привести к дифференциальному уравнению где — положительная постоянная, то х изменяется по закону (1) с (параметры А и определяются начальными условиями, см. пример 1).

Если при изменении состояния физической системы квадратичная функция

остается постоянной: то х изменяется по закону (1) при Действительно, продифференцировав (4) по времени, получим уравнение которое является уравнением гармонических колебаний. Обычно величина Е пропорциональна энергии колебательной системы при малых , поэтому такой подход называют энергетическим методом определения частоты колебаний.

Комплексная экспонента и векторная диаграмма. Формула Эйлера позволяет рассматривать закон гармонических колебаний (1) как действительную часть комплексной экспоненты где

а называется комплексной амплитудой колебаний. Такой подход особенно удобен при рассмотрении систем, которые описываются линейными уравнениями, так как в этом случае действительная и мнимая часть преобразуются независимо друг от друга.

Закон гармонических колебаний (1) может быть получен как проекция на ось х радиуса-вектора величиной А, который равномерно вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью и от начального углового положения (в этом случае угол с осью х меняется по закону Такой подход называется методом векторных диаграмм; он особенно удобен при сложении гармонических колебаний, так как позволяет сложение функций заменить наглядным сложением векторов (проекция суммы векторов равна сумме проекций).

Сложение гармонических колебаний одного направления.

Сумма двух гармонических колебаний одинаковой частоты, амплитуды которых равны а начальные фазы — представляет собой гармоническое колебание такой же частоты, амплитуда и начальная фаза которого могут быть найдены методом векторных диаграмм (рис. 46):

(параллелограмм на векторной диаграмме вращается с угловой скоростью как одно целое). Разность фаз колебаний одинаковой частоты не меняется со временем; такие колебания называются когерентными. При амплитуда максимальна: а при — минимальна:

Рис. 46.

При сложении некогерентных колебаний с различными частотами параллелограмм на векторной диаграмме деформируется со временем, модуль результирующего вектора и угловая скорость его вращения меняются, т.е. движение не является гармоническим колебанием. Однако при сложении колебаний с близкими частотами (Ли на промежутке времени, малом по сравнению с временем когерентности колебания можно считать приблизительно когерентными. Колебания происходят с циклической частотой а их амплитуда периодически (с периодом изменяется от до Такие колебания называются биениями, — циклической частотой биений, а период изменения амплитуды — периодом биений. Если то

Биения представляют собой один из примеров модулированных колебаний, т.е. колебаний, происходящих по закону гармонических колебаний (1), в котором один из параметров периодически изменяется со временем с периодом, значительно превышающим период основных колебаний. Различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции.

Произвольное периодическое колебание с периодом Т может быть разложено в ряд Фурье по гармоническим колебаниям с частотами Такое разложение называется гармоническим анализом периодического колебания, а члены разложения — первой (основной), второй, третьей и т.д. гармониками периодического колебания. Непериодические колебания имеют, как правило, непрерывный спектр частот и могут быть представлены в виде интеграла Фурье по гармоническим колебаниям всех частот от нуля до бесконечности. Периодические колебания имеют линейчатый спектр частот, однако не любые колебания с линейчатым спектром являются периодическими.

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Если точка движется по плоскости таким образом, что ее проекции на оси х, у совершают гармонические колебания, то говорят о сложении взаимно дерйендикулярных гармонических колебаний. При сложении колебаний одинаковой частоты траекторией точки является наклонный эллипс:

Такое движение называют эллиптически поляризованными колебаниями. При оси эллипса совпадают с осями координат. При эллипс вырождается в прямую; такое движение называется линейно поляризованными колебаниями. Движение точки может происходить по часовой стрелке (при или против часовой стрелки; в этих случаях говорят о правой или левой эллиптической поляризации.

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными, но кратными частотами результирующее движение происходит по траекториям, называемым фигурами Лиссажу. По виду фигуры Лиссажу можно установить отношение частот.