1.7. Задана двух тел и движение в центральном поле

Приведенная масса. Рассмотрим замкнутую систему двух взаимодействующих между собой частиц. Решить задачу об их движении (задачу двух тел) — значит определить положение точек во все

моменты времени исходя из заданных начальных условий. Положение точек выражается через положение центра масс (см. (8)) и их относительное расположение

Движение центра масс является равномерным, а его начальные положение и скорость определяются из начальных условий (см. уравнения (8), (9)). Получаем, что решение задачи двух тел сводится к определению

Из условия однородности и изотропности пространства и однородности времени следует, что частицы должны взаимодействовать центральными силами, т.е. где Р параллельна а ее модуль зависит только от Запишем уравнения движения каждой точки:

Разделим первое уравнение на второе на а затем вычтем второе уравнение из первого. В результате получим:

где приведенная масса определяется равенством

Видно, что поведение вектора определяется решением задачи о движении частицы массой в центральном поле.

Рис. 7.

Эффективная потенциальная энергия. Применение законов сохранения энергии и момента импульса позволяет установить, как зависит от времени расстояние до центра точнее, свести эту задачу к одномерному движению. Для этого надо разложить скорость частицы на две компоненты (рис. 7): радиальную и перпендикулярную к ней азимутальную Момент импульса выражается через азимутальную скорость: Значит, механическую энергию точки можно представить в виде:

Видно, что зависимость такая же, как при одномерном движении с эффективной потенциальной энергией, определяемой равенством

Вид эффективной потенциальной кривой определяется значением которое можно вычислить из начальных условий.

Рис. 8.

На рис. 8 качественно изображена зависимость эффективной потенциальной энергии от расстояния для разных значений в случае Видно, что при любом условие финитности движения остается одним и тем же: