3.6. Электростатика диэлектриков

Поляризация диэлектрика. Поляризованность. Диэлектриком называют вещество, которое не проводит электрический ток. Значит, в этом веществе отсутствуют свободные заряды (или их ничтожно мало). Тем не менее, в присутствии диэлектрика происходит ослабление электрического поля. Это свидетельствует о том, что при помещении диэлектрика в электрическое поле в объеме и на поверхности появляются макроскопические заряды. Указанные заряды возникают в результате поляризации диэлектрика — смещении связанных зарядов отдельных молекул или кристаллической решетки друг

относительно друга. При поляризации средний дипольный момент молекул становится отличным от нуля, и возникает дипольный момент объема диэлектрика. Степень поляризации в данной точке диэлектрика характеризуют поляризованностью Р, определяемой как суммарный дипольный момент молекул в расчете на единицу объема:

где — концентрация молекул. Для построения макроскопических уравнений поля в диэлектрике можно упрощенно считать, что все молекулы в объеме имеют одинаковый дипольный момент

Поляризованность и связанные заряды. Механизм образования макроскопических связанных зарядов проще всего представить в случае однородной поляризации . В этом случае объем диэлектрика остается электронейтральным, а на его поверхности выступают заряды — на передней (по отношению к Р) положительные, на задней — отрицательные. Создаваемая ими напряженность будет направлена против поляризованности Р.

При поляризации через произвольную площадку в объеме диэлектрика (включая его границу) в направлении нормали к поверхности проходит заряд

где в — объем тонкого цилиндрического слоя, молекулы которого при поляризации пересекают площадку (рис. 31). Проинтегрировав по любой замкнутой поверхности, найдем полный связанный заряд, вышедший из охватываемого ею объема, что означает появление внутри объема связанного заряда

Рис. 31.

Здесь направлен, как обычно, в сторону внешнего пространства. Для поверхностной плотности связанного заряда из (18) получим:

Электрическое смещение. Макроскопическая напряженность электрического поля в диэлектрике определяется как результат

усреднения микроскопической напряженности Р (сильно меняющейся на межатомных расстояниях) по малому объему, содержащему достаточно много молекул: Напряженность поля определяется как связанными, так и сторонними, нанесенными на диэлектрик извне, зарядами:

Так как распределение связанных зарядов заранее не известно, удобно ввести новую величину, которую называют электрическим смещением:

Из уравнений (19), (21) следует, что электрическое смещение определяется только сторонними зарядами:

(теорема Гаусса для электрического смещения). В дифференциальной форме это уравнение имеет вид

Изотропный диэлектрик. Поляризованность Р в данной точке диэлектрика возникает под воздействием электрического поля и определяется его напряженностью В не очень сильных полях Р зависит от Р линейно, а в изотропном диэлектрике, кроме того,

диэлектрическая восприимчивость вещества. Для электрического смещения в однородном диэлектрике получим:

где в СГС) — диэлектрическая проницаемость вещества.

Условия на границе раздела диэлектриков. На границе раздела двух диэлектриков выполняются следующие условия для тангенциальных (касательных) и нормальных компонент:

(нормаль проведена из первой среды во вторую). Если стороннего заряда на границе нет, то нормальные компоненты смещения равны

друг другу. Первое условие получается из условия потенциальности поля Е (работа по замкнутому контуру равна нулю), второе — из формулы (23). В случае изотропного диэлектрика имеем:

Видно, что на границе диэлектрических сред происходит преломление линий напряженности.

Вычисление полей в присутствии диэлектриков. Уравнения для Р и вместе с условием связи между ними в данном веществе (25) и граничными условиями (27) однозначно определяют поле во всем пространстве по известному расположению сторонних зарядов. Отметим некоторые свойства решения:

1. Из уравнений (19) и (23) и формулы которая является следствием (24) и (25), для однородного диэлектрика получим

Значит, в отсутствие стороннего объемного заряда в результате поляризации будет возникать только поверхностный связанный заряд. (Если диэлектрик неоднородный, т.е. зависит от координат, то объемный связанный заряд возникает и в отсутствие объемного стороннего заряда.)

2. Если границы однородного диэлектрика совпадают с эквипотенциальными поверхностями того поля которое создают сторонние заряды в отсутствие диэлектрика, то все граничные условия удовлетворяются, если положить

Пример 1. Если точечный заряд окружить сферическим слоем из диэлектрика (внутренний радиус внешний — вне диэлектрика напряженность поля не изменится, а внутри

Связанные заряды на поверхностях равны друг другу:

Пример 2. Рассмотрим шар из однородного диэлектрика, равномерно заряженный сторонним зарядом с объемной плотностью Напряженность поля в

отсутствие диэлектрика определена в примере 3 из разд. 3.4. В присутствии диэлектрика напряженность при уменьшится в

Нетрудно проверить, что т.е. полный связанный заряд, как и должно быть, равен нулю.

Пример 3. Если в однородное поле перпендикулярно напряженности поместить пластину диэлектрика, у которого меняется от на одном конце до на другом, то получим

Легко проверить, что полный связанный заряд равен нулю.

Пример 4. Если в однородное поле внести шар из однородного диэлектрика, то он поляризуется однородно Действительно, равномерная поляризация соответствует сдвигу двух равномерно заряженных шаров из примера 2 в разд. 3.5; как было показано, при этом возникает однородное поле с напряженностью Полное поле при этом равно . Из этого уравнения и условия находим

При этом выполняются все граничные условия.

Механизмы поляризации. Различают три механизма поляризации диэлектриков.

1. Ориентационный механизм поляризации полярных диэлектриков. Молекулы полярного диэлектрика (полярные молекулы) обладают постоянным дипольным моментом в отсутствие поля и др.). Вследствие теплового движения, в отсутствие поля все направления дипольного момента равноправны, и средний дипольный момент равен нулю. Внешнее поле стремится установить дипольные моменты молекул вдоль Р (см. разд. 3.3). В результате конкуренции ориентирующего действия поля и теплового движения возникает средний дипольный момент который в слабом поле пропорционален Й и убывает с ростом температуры.

В газообразных диэлектриках, в соответствии с распределением Больцмана (см. разд. 2.5), вероятность ориентации пропорциональна где Видно, что во внешнем поле средний дипольный момент должен быть направлен вдоль и пропорционален где — некоторая функция, равная нулю при и единице при (сильное поле, все диполи

почти параллельны). При малых х (слабое поле) средний дипольныи момент пропорционален Е и обратно пропорционален Т. Расчет дает для 7 значение 1/3, т.е. Поэтому для диэлектрической проницаемости получим

(формула Дебая—Ланжевена).

2. Электронный (деформационный) механизм поляризации неполярных диэлектриков. В отсутствие внешнего поля дипольный момент неполярной молекулы равен нулю и т.д.), т.е. наименьшей потенциальной энергией обладает такое состояние молекулы, при котором центр отрицательного заряда (электронного облака) совпадает с центром положительного. При включении внешнего поля центры положительного и отрицательного зарядов смещаются, и возникает сила, стремящаяся вернуть их в положение равновесия; при малом смещении эта сила пропорциональна (квази-упругая сила). В положении равновесия т.е. возникающий под действием поля (индуцированный) дипольный момент оказывается пропорциональным напряженности поля: Определенный таким образом коэффициент а называют поляризуемостью молекулы. Поляризуемость диэлектрика равна где Р — поле, действующее на одну молекулу. В газах это поле можно считать равным среднему полю в диэлектрике, и для диэлектрической проницаемости получим:

В плотных газах и жидкостях надо учитывать отличие поля, действующего на молекулу, от среднего поля в диэлектрике (второе включает в себя поле самой молекулы, а первое — нет).

3. Ионная поляризация в твердых диэлектриках, обладающих кристаллической решеткой. Под действием поля подрешетка положительных ионов смещается целиком в одну сторону, подрешетка отрицательных ионов — в другую.

Сегнетоэлектриками называют вещества (например, сегнетову соль), в которых ниже температуры называемой температурой Кюри, небольшие области — домены — спонтанно поляризованы до насыщения (все диполи ориентированы параллельно). Сегнето-электрики по своийм свойствам являются электрическими аналогами ферромагнетиков: они имеют аномально большую диэлектрическую проницаемость, зависящую от Е и Г, проявляют при поляризации гистерезисные свойства, превращаются в обычные диэлектрики при нагревании выше температуры Кюри (подробнее см. разд. 3.13).