4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определения. Функция называется бесконечно малой при , если

Функция называется бесконечно большой при если для любого числа неравенство выполняется для всех из некоторой окрестности точки а. В этом случае пишут при а или (В данных определениях а — число или один из символов ) Если — бесконечно большая функция при в некоторой окрестности точки а (при ), то пишут (соответственно

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1) Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при а функций являются бесконечно малыми функциями.

2) Произведение бесконечно малой при а функции на функцию ограниченную в некоторой окрестности точки а (т.е. такую, что для некоторого числа и для всех ), является бесконечно малой функцией.

тогда и только тогда, когда , где — бесконечно малая при а.

4) Функция является бесконечно большой тогда и только тогда, когда функция бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых. Бесконечно малые при а функции называются эквивалентными, если

Обозначение:

Примеры эквивалентных бесконечно малых:

где — бесконечно малая при .

Говорят, что функции — одинакового порядка малости при , и пишут если

Функция называется функцией более высокого порядка малости по сравнению с функцией при , если

Обозначение: