4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определения. Функция 
называется бесконечно малой при 
, если 
Функция 
называется бесконечно большой при 
если для любого числа 
неравенство 
выполняется для всех 
из некоторой окрестности точки а. В этом случае пишут 
при 
а или 
(В данных определениях а — число или один из символов 
) Если 
— бесконечно большая функция при 
в некоторой окрестности точки а (при 
), то пишут 
(соответственно 
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
1) Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при 
а функций являются бесконечно малыми функциями.
2) Произведение бесконечно малой при 
а функции 
на функцию 
ограниченную в некоторой окрестности 
точки а (т.е. такую, что 
для некоторого числа 
и для всех 
), является бесконечно малой функцией.
тогда и только тогда, когда 
, где 
— бесконечно малая при 
а.
4) Функция 
является бесконечно большой тогда и только тогда, когда функция 
бесконечно малая.
Сравнение бесконечно малых. Бесконечно малые при 
а функции 
называются эквивалентными, если 
Обозначение: 
Примеры эквивалентных бесконечно малых:
где 
— бесконечно малая при 
.
Говорят, что функции 
— одинакового порядка малости при 
, и пишут 
если 
называется функцией более высокого порядка малости по сравнению с функцией 
при 
, если 
