4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определения. Функция
называется бесконечно малой при
, если
Функция
называется бесконечно большой при
если для любого числа
неравенство
выполняется для всех
из некоторой окрестности точки а. В этом случае пишут
при
а или
(В данных определениях а — число или один из символов
) Если
— бесконечно большая функция при
в некоторой окрестности точки а (при
), то пишут
(соответственно
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
1) Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при
а функций являются бесконечно малыми функциями.
2) Произведение бесконечно малой при
а функции
на функцию
ограниченную в некоторой окрестности
точки а (т.е. такую, что
для некоторого числа
и для всех
), является бесконечно малой функцией.
тогда и только тогда, когда
, где
— бесконечно малая при
а.
4) Функция
является бесконечно большой тогда и только тогда, когда функция
бесконечно малая.
Сравнение бесконечно малых. Бесконечно малые при
а функции
называются эквивалентными, если
Обозначение:
Примеры эквивалентных бесконечно малых:
где
— бесконечно малая при
.
Говорят, что функции
— одинакового порядка малости при
, и пишут
если