9.3. Геометрические и физические приложения двойного интеграла

Геометрические приложения двойного интеграла.

1. Площадь области на плоскости

2. Площадь поверхности, заданной уравнением для (рассматриваемая поверхность проектируется в область на плоскости находится по формуле

3. Площаль поверхности, заданной векторным уравнением

Здесь вектор нормали вычисляется по формуле

4. Вычисление объемов. Если область трехмерного пространства задается условиями — некоторая область на плоскости то ее объем равен

Рассматриваемая трехмерная область представляет собой цилиндрическое тело, которое снизу ограничено поверхностью а сверху — поверхностью . Боковая поверхность этого тела состоит из отрезков прямых, параллельных оси z.

Физические приложения двойного интеграла. Далее считаем, что плоская пластина занимает область плоскости — поверхностная плотность материала пластины (для однородной пластины

1. Масса плоской пластины:

2. Координаты центра тяжести плоской пластины.

где — масса пластины.

3. Моменты инерции плоской пластины относительно координатных осей:

Момент инерции пластины относительно начала координат вычисляется по формуле