8.4. Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция определена и непрерывна при а Если существует конечный предел то его называют (сходящимся) несобственным интегралом от на интервале и обозначают Таким образом, по определению

Если указанный предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называют расходящимся.

Геометрический смысл несобственного интеграла заключается в том, что равен площади неограниченной области, заключенной между линиями и осью абсцисс.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы для других бесконечных интервалов:

(если каждый из несобственных интегралов, стоящих в правой части последнего равенства, сходится, то по определению сходится и интеграл, стоящий в левой части).

Пример 1. Непосредственным вычислением показывается, что несобственный интеграл - расходится, если , и сходится, если в последнем случае его значение равно

Достаточные условия сходимости несобственных интегралов. Во многих задачах достаточно установить, сходится или расходится заданный несобственный интеграл, и оценить его значение в случае сходимости. Для этого бывают полезны следующие теоремы.

Теорема 1. Если при , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла причем Если же интеграл расходится, то и интеграл расходится.

Теорема 2. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл (в этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся).

Пример 2. Несобственный интеграл сходится абсолютно, так как справедливо неравенство , а интеграл сходится (см. пример 1).

Интегралы от неограниченных функций. Пусть функция определена и непрерывна при а но Если существует конечный предел то он называется (сходящимся) несобственным интегралом от неограниченной функции по отрезку Таким образом, по определению

Если конечного предела не существует, то интеграл называется расходящимся.

Если то по определению полагают

Наконец, если не ограничена в окрестности некоторой точки с и каждый из интегралов сходится, то по определению

Геометрический смысл несобственного интеграла от неограниченной функции, а также теоремы типа теорем 1 и 2 (см. выше) для таких интегралов полностью аналогичны таковым для несобственных интегралов с бесконечными пределами. В качестве функций, с которыми обычно сравнивают функции, стоящие под знаком несобственного интеграла, в данном случае берут несобственный интеграл сходится при и расходится при и, 1. Это утверждение относится и к интегралам вида

Пример 3. Несобственный интеграл сходится и не превосходит 2, так как а интеграл сходится и равен 2.