11. Ряды

11.1. Числовые ряды

Основные определения. Пусть — последовательность чисел. Выражение

называется числовым рядом, — общим членом ряда, а сумма частичной суммой ряда. Если существует конечный предел то ряд называется сходящимся, суммой ряда. При этом пишут Если не существует (или равен бесконечности), то ряд называется расходящимся. Ряд называется остатком ряда.

Пример 1. Ряд члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем сходится, если (при этом его сумма расходится, если

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то (если то ряд расходится).

Пример 2. Ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю при

Необходимый признак сходимости не является достаточным.

Пример 3. Рассмотрим ряд Хотя его общий член стремится к нулю: но ряд расходится, так как его частичные суммы не ограничены: при

Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток. Отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

2. Если все члены ряда умножить на некоторое число, то сходимость ряда не нарушится (а сумма ряда умножится на это число).

3. Если ряды сходятся и имеют суммы соответственно, то сходятся и ряды а их суммы равны

4. Члены сходящегося ряда можно группировать в порядке следования; получающийся ряд сходится и имеет ту же сумму. Иными словами, в сходящемся ряде можно произвольным образом расставлять скобки; обратное действие — раскрытие скобок — допустимо не всегда: так, ряд сходится (и имеет сумму, равную нулю), но если раскрыть скобки, то получится расходящийся ряд (его общий член не стремится к нулю).

Критерий Коши сходимости ряда. Чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся такой номер что для всех и любого натурального к выполнялось неравенство

Признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. Первый признак сравнения. Если (начиная с некоторого номера то из сходимости ряда следует сходимость ряда а из расходимости ряда — расходимость ряда

2. Второй признак сравнения. Если существует конечный предел отличный от нуля, ряды сходятся или расходятся одновременно.

3. Признак Даламбера. Если существует то при ряд сходится, а при расходится. При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.

4. Признак Коши. Если существует то при ряд сходится, а при — расходится. При признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.

5. Интегральный признак Маклорена—Коши. Пусть — неотрицательная невозрастающая функция, непрерывная на интервале и такая, что

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

Пример 4. Ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл Аналогично устанавливается, что ряд сходится при и расходится при а 1.

Ряды с произвольными членами. Признак сходимости Лейбница. Пусть знаки членов ряда чередуются, абсолютные величины членов не возрастают с ростом Тогда данный «знакочередующийся» ряд сходится (признак Лейбница). Если при подсчете суммы такого ряда ограничиться частичной суммой а остальные члены ряда отбросить, то погрешность, возникающая при замене на не превосходит по абсолютной величине модуля первого из отброшенных членов (и имеет одинаковый с ним знак).

Пример 5. Ряд сходится по признаку Леибница. Если положить то допущенная при этом погрешность положительна и не превосходит

Абсолютная и условная сходимость. Ряд с произвольным чередованием знаков его членов называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (Абсолютно сходящийся ряд сходится.)

Пример 6. Ряд сходится абсолютно, так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда, сходится (см. ряд примера 4 при ).

Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

Пример 7. Ряд сходится условно, так как он сходится (по признаку Лейбница), а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится (это гармонический ряд, см. пример 4).

При произвольной перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (в частности, сходящегося ряда с положительными членами) абсолютная сходимость не нарушается и сумма ряда не меняется. Условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают: если ряд сходится условно, то можно так переставить его члены, что сумма нового ряда станет равной любому наперед заданному числу (можно так переставить члены, что получающийся ряд окажется расходящимся).