2.8. Поверхности второго порядка

Поверхностями второго порядка называются такие множества точек в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

Например, уравнение

определяет сферу радиуса с центром в начале координат. Объем сферы:

ТАБЛИЦА 1. Канонические уравнения поверхностей второго порядка (см. скан)

Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

При помощи поворотов и параллельного переноса осей координат всякое уравнение вида (4) может быть преобразовано к простому каноническому виду. Основные канонические уравнения и названия соответствующих поверхностей даны в табл. 1, а их схематические изображения приведены на рис. 9. Ниже описаны наиболее важные свойства некоторых поверхностей второго порядка.

Эллипсоид (рис. 9, а). Сечением эллипсоида любой плоскостью является эллипс (в частном случае круг). Координаты точек эллипсоида удовлетворяют неравенствам .

Объем эллипсоида:

В частном случае имеем эллипсоид вращения, получающийся при вращении эллипса лежащего в плоскости

(кликните для просмотра скана)

вокруг оси z (при а > с эллипсоид вращения называется сплюснутым, а при а < с — вытянутым).

Гиперболоиды (рис. 9, б, в). Для обоих гиперболоидов сечения, параллельные оси — гиперболы (для однополостного гиперболоида может быть пара пересекающихся прямых); сечения, параллельные плоскости эллипсы.

Двуполостный гиперболоид состоит из двух частей, точки которых расположены соответственно при .

Конус (рис. 9, г) имеет вершину в начале координат. Поверхность конуса состоит из прямых линий (эти линии называются образующими), проходящих через его вершину и точки эллипса с полуосями а и b, плоскость которого перпендикулярна оси и находится на расстоянии с от начала координат.

Конус является асимптотическим для обоих гиперболоидов , т.е. каждая из его образующих при удалении в бесконечность неограниченно приближается к обоим гиперболоидам.

Эллиптический параболоид (рис. 9, д). Сечения, параллельные оси — параболы; сечения, параллельные плоскости — эллипсы. Точки эллиптического параболоида расположены в области

В частном случае имеем параболоид вращения, порождаемый вращением параболы вокруг оси

Гиперболический параболоид (рис. 9, е). Сечения, параллельные плоскостям - параболы; сечения, параллельные плоскости — гиперболы (и пара пересекающихся прямых).

Цилиндры (рис. 9, ж, з, и). Поверхности цилиндров состоят из прямых линий, параллельных оси Сечениями (параллельными оси эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров соответственно являются эллипсы, гиперболы и параболы.