11.4. Ряд Фурье

Основные определения. Функция удовлетворяет условиям Дирихле на интервале

1) если этот интервал можно разбить на конечное число интервалов, в каждом из которых непрерывна и монотонна;

2) если — точка разрыва, то существуют конечные односторонние пределы

Периодическая функция с периодом удовлетворяющая на интервале условиям Дирихле, может быть представлена рядом Фурье:

коэффициенты которого находятся по формулам

В точках непрерывности функции ряд Фурье сходится к , а в точках разрыва

Разложение в ряд Фурье периодической функции с периодом 21 имеет вид

где

Непериодическую функцию определенную на интервале также можно представить в виде суммы ряда Фурье, однако вне указанного интервала сумма этого ряда будет отлична от

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Если — четная функция, то коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам

и разложение в ряд Фурье имеет вид (разложение в ряд по косинусам):

Если — нечетная функция, то коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам

и разложение в ряд Фурье имеет вид (разложение в ряд по синусам):

Если функция задана на интервале (и удовлетворяет условиям Дирихле), то ее можно разложить как в ряд по косинусам, так и в ряд по синусам (по формулам, приведенным выше). Оба ряда в интервале дадут значения в точках непрерывности функции и величину в точках разрыва; вне интервала указанные разложения описывают разные функции.

Ряд Фурье в комплексной форме. Разложение функции в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

где Выражения называются гармониками, коэффициенты — комплексными амплитудами, числа — волновыми числами функции совокупность всех волновых чисел дискретным спектром функции.