8. Определенный интеграл

8.1. Основные определения. Геометрический смысл определенного интеграла

Основные определения. Множество упорядоченных точек таких, что задает разбиение отрезка на отрезков. Разбиение будем обозначать а наибольшую из длин — отрезков — через

величину называют диаметром разбиения). Пусть на задана ограниченная функция Возьмем на каждом отрезке произвольную «опорную» точку и составим сумму которая называется интегральной суммой.

Если при существует конечный предел интегральных сумм который не зависит ни от вида разбиений ни от выбора «опорных» точек, то такой предел обозначается и называется определенным интегралом от функции по отрезку

Эта запись означает, что для любого (сколь угодно малого) найдется число такое, что для всех с диаметром и для произвольного множества «опорных» точек будет выполняться неравенство

Рис. 18.

Если существует, то а функция называется интегрируемой на отрезке . Функция, непрерывная на интегрируема на этом отрезке.

Если интегрируема на отрезке , то по определению Кроме того, полагают

Геометрический смысл определенного интеграла. Если на то интеграл равен площади области («криволинейной трапеции», рис. 18).