11.2. Функциональные ряды

Основные определения. Функциональным рядом называется ряд членами которого являются функции, определенные на некотором множестве X. Ряд называется сходящимся в точке : если сходится числовой ряд Совокупность , для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости. Сумма ряда является функцией определенной в области сходимости.

Ряд называется абсолютно сходящимся на множестве X, если на этом множестве сходится ряд

Пример 1. Функциональный ряд сходится при — (см. пример 1 из разд. 11.1). На этом интервале определена его сумма

Ряд называется остатком функционального ряда . В случае сходимости ряда на множестве X из равенства

частичная сумма ряда, сумма его остатка) следует, что для

Равномерно сходящиеся ряды. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве X, если для любого найдется такой номер (зависящий от но не от что при всех выполняется неравенство Для всех :

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Функциональный ряд сходится на множестве X равномерно, если существует сходящийся чйсловой ряд с положительными членами такой, что для всех (начиная с некоторого номера) и для всех . Ряд называется мажорантой ряда

Пример 2. Ряд сходится равномерно при так как а числовой ряд сходится (см. пример 4 из разд. 11.1).

Свойства равномерно сходящихся рядов. Пусть функциональный ряд равномерно сходится на отрезке и имеет сумму Тогда справедливы теоремы:

1. Если в точке непрерывны члены ряда то в этой точке непрерывна функция

2. Если непрерывны на , то ряд можно почленно интегрировать:

3. Если члены ряда имеют непрерывные производные, а функциональный ряд сходится равномерно на сумма имеет на непрерывную производную, причем

(т.е. ряд можно почленно дифференцировать).