11.5. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Интеграл Фурье. Пусть функция определена на всей числовой оси, удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и абсолютно интегрируема по всей оси (т.е. сходится несобственный интеграл Тогда справедливо следующее представление функции интегралом Фурье:

Эту формулу можно записать в виде

где использованы обозначения

Как и при разложении функции в ряд Фурье, в точках непрерывности функции интеграл Фурье дает значение а в точках разрыва — значение

Интеграл Фурье можно записать в комплексной форме: либо в виде

либо в виде

Разложение в интеграл Фурье четных и нечетных функций.

Если — четная функция, то

Если - нечетная функция, то

Если задана в интервале то ее можно представить в любой из двух приведенных выше форм — смотря по тому, четным или нечетным образом она продолжена на отрицательную полуось.

Преобразование Фурье. Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме можно записать в виде

Полагая

получим

Функция называется преобразованием Фурье функции (последняя формула задает обратное преобразование Фурье).

Косинус-преобразование Фурье. Если — четная функция, то ее представление интегралом Фурье может быть переписано в виде

Полагая

получим

Функция называется ко синус-преобразованием Фурье функции Приведенная пара формул устанавливает закон взаимности: если — косинус-преобразование Фурье четной функции то есть косинус-преобразование Фурье функции

Синус-преобразование Фурье. Если нечетная функция, то ее представление интегралом Фурье может быть переписано в виде

Полагая

получим

Функция называется синус-преобразованием Фурье функции Приведенная пара формул устанавливает закон взаимности: если — синус-преобразование Фурье нечетной функции то есть синус-преобразование Фурье функции