1.5. Сложное движение точки

Основные понятия. Часто за одной и той же точкой М следят Два наблюдателя, один из них находится в основной системе координат которая считается неподвижной, другой — в подвижной системе координат которая известным образом движется относительно неподвижной (рис. 10). В этом случае, если будет задан закон движения точки в подвижной системе координат, то тем самым

Рис. 10.

в любой момент времени будет задано положение точки и в неподвижной системе координат. Движение точки, заданное таким образом, называется сложным (составным) движением точки.

Описанный способ задания движения точки отличен от изученных ранее. Скорость точки и ее ускорение можно определить так: надлежащими преобразованиями перейти к одному из изученных способов задания движения точки и затем действовать соответствующим образом. Однако эту же задачу можно решить по-другому, опираясь на рассматриваемые ниже теоремы о скоростях и ускорениях при сложном движении точки.

Абсолютным движением точки М называется ее движение по отношению к неподвижной (абсолютной) системе координат. Траектория точки, ее скорость и ускорение называются соответственно абсолютной траекторией, абсолютной скоростью и абсолютным ускорением аабс.

Относительным движением точки М называется ее движение по отношению к подвижной системе координат. Траектория точки, ее скорость и ускорение по отношению к подвижной системе координат называются соответственно относительной траекторией, относительной скоростью и относительным ускорением аотн.

Переносным движением называется движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной. При этом движении подвижная система «переносит» вместе с собой множество неизменно связанных с ней точек.

Переносной скоростью и переносным ускорением апер называются скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой точки В, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М.

Если известны скорость и ускорение некоторой точки, принадлежащей подвижной системе, а также угловая скорость йпер и угловое ускорение подвижной системы, то можно найти, пользуясь формулами (11):

Основные теоремы. Теорема о скоростях при сложном движении точки: вектор абсолютной скорости равен геометрической сумме векторов относительной и переносной скоростей

Теорема об ускорениях при сложном движении точки: вектор абсолютного ускорения равен геометрической сумме векторов относительного, переносного и кориолисова ускорений

Вектор ускорения Кориолиса определяется формулой

и находится в соответствии с правилами вычисления векторного произведения.

При нахождении векторов аотн и апер необходимо иметь в виду, что каждый из них может являться геометрической суммой нескольких составляющих, например касательного и нормального ускорений.

Пример. По линейке эллипсографа, движение которого описано в примере из разд. 1.1, движется точка М по закону Определить ее скорость и ускорение в момент времени .

Решение. Найдем скорость и ускорение, пользуясь теоремами сложного движения точки. Введем подвижную систему координат, связав ее со стержнем При таком выборе относительное движение точки М будет задано естественным способом. При она окажется в середине отрезка.

Относительные скорость и ускорение найдем, пользуясь формулами (6)

где использовано обозначение

Изобразим на рис. 11 относительные скорость и ускорение с учетом знаков.

Переносными скоростью и ускорением точки М будут являться скорость и ускорение того пункта линейки эллипсографа, в котором точка окажется в момент Этим пунктом будет являться точка С линейки, скорость и ускорение которой были найдены при решении примера, разобранного в разд. 1.1 (см. формулы (8)):

Рис. 11.

Найдем ускорение Кориолиса (12). Вектор угловой скорости подвижной системы координат направлен к наблюдателю перпендикулярно плоскости рисунка. Вектор акор располагается в плоскости рисунка перпендикулярно так, что если посмотреть навстречу акор, поворот от о; в ближайшую сторону к отн кажется происходящим против хода часовой стрелки (рис. 11). Модуль акор равен

Находим абсолютную скорость точки М

Спроектируем обе части векторного равенства на оси х и у

откуда

Находим абсолютное ускорение точки М

Спроектируем обе части последнего векторного соотношения на оси х и у с учетом формул (8)

Поэтому

При решении задач кинематики с помощью теорем сложного движения точки нахождение кинематических характеристик относительного и переносного движений можно начинать только после выбора подвижной системы координат. Поэтому вопрос о направлении ускорения Кориолиса лишен всякого смысла, пока не указаны неподвижная система, а также подвижная система и закон ее движения.