7.4. Интегрирование рациональных функций
Описание метода. Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение многочленов
Бели 
то дробь называется правильной; если 
— неправильной.
Каждую правильную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Для этого знаменатель дроби следует разложить на простые множители вида
где 
— натуральные числа, 
Каждому такому множителю в разложении рациональной функции (2) на простейшие дроби отвечает столько слагаемых, какова степень соответствующего множителя:
Для определения неизвестных постоянных 
приравнивают исходною рациональную дробь сумме указанных простейших дробей и приводят обе части полученного выражения к общему знаменателю. Выделяя затем коэффициенты при одинаковых степенях х, приходят к системе линейных уравнений относительно 
Интегралы от наиболее часто встречающихся простейших дробей находятся по формулам (постоянная интегрирования С опускается):
Для интегрирования неправильной дроби следует при помощи деления с остатком выделить правильную часть. В итоге неправильная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной дроби, которые интегрируются отдельно.
Примеры интегрирования рациональных функций.
Пример 1. Вычислить интеграл 
Решение. Представив знаменатель подынтегрального выражения в виде произведения 
разложим (правильную) подынтегральную дробь на сумму простейших:
Приведя сумму дробей в правой масти этого равенства к общему знаменателю и приравняв числитель полученной дроби к числителю исходной дроби, имеем
Раскрывая скобки и приравнивал коэффициенты при 
: и свободные члены этого тождества, получим систему уравнений для 
Находим ее решение: 
. Поэтому
Пример 2. Вычислить интеграл 
Решение. Разложим дробь в подынтегральном выражении на сумму про стейших дробей
Приведем обе части к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х. В результате получим систему линейных 
равнений, откуда определим постоянные 
Вычисление исходного интеграла сводится к вычислению четырех интегралов от простейших дробей, для чего используются формулы, указанные перед первым примером.
Пример 3. Вычислить интегргш 
Решение. 
.
Некоторые интегралы, приводящиеся к интегралам от рациональных функций, рассмотрены в разд. 7.5, 7.6.
