6.5. Уравнения Лагранжа второго рода

Для описания движения голономной механической системы с степенями свободы, на которую наложены идеальные связи, используют уравнения Лагранжа второго рода

Здесь — обобщенные координаты, количество которых равно Числу степеней свободы — обобщенные скорости, равные производным по времени от обобщенных координат, Т — кинетическая энергия системы, — обобщенные силы.

Величины Т и должны быть представлены в виде функций обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени:

Обобщенные силы находятся из выражения для суммы элементарных работ активных сил на возможном перемещении системы, преобразованного к виду

Количество обобщенных сил равно числу степеней свободы.

Физическая размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты так как размерность их произведения должна совпадать с размерностью работы силы. По этой причине может не иметь явного физического смысла, отсюда и ее название — обобщенная сила.

После подстановки в (6) функций Т и получается система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которую необходимо интегрировать с учетом начальных условий.

Пример. Чтобы наглядно проявились достоинства изложенной методики, составим в форме уравнений Лагранжа второго рода дифференциальные уравнения движения механической системы, рассмотренной в примере из разд. 6.4.

Решение. Рассмотрим систему, состоящую из параллелепипеда и диска. Наложенные связи являются голономными и идеальными, поэтому можно применять уравнения Лагранжа второго рода. Система имеет две степени свободы; в качестве обобщенных координат, определяющих ее положение, выберем абсолютные координаты параллелепипеда центра диска (см. рис. 39, а)

Запишем выражение кинетической энергии системы и приведем его к виду функции, зависящей от

При проведении выкладок использована формула (1) из гл. 5 и кинематическое соотношение

Из-за простой кинематики и удачного выбора обобщенных координат оказалось, что в выражение кинетической энергии не входят ни обобщенные координаты, ни время.

Вычислим обобщенные силы. Для этого подсчитаем сумму элементарных работ активных сил на возможном перемещении системы, задаваемом вариациями направленными в сторону увеличения координат

Коэффициенты, стоящие при вариациях обобщенных координат, являются искомыми выражениями обобщенных сил, откуда

Осталось записать систему уравнений движения (6):

С учетом найденных выражений после соответствующих преобразований уравнения движения принимают следующий вид:

Решение системы (7) совпадает с решением (5) этой же задачи, полученным ранее иным способом.

В отличие от уравнений Лагранжа второго рода, общее уравнение динамики пригодно также для изучения неголономных систем, поэтому оно имеет более широкие возможности применения. В то же время применение уравнений (6) для исследования голонрмных систем более предпочтительно, так как оно требует меньшего количества простых действий.

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

(см. скан)