3. Линейная алгебра

3.1. Определители

Определители второго и третьего порядков. Определителем второго порядка с элементами называется число которое обозначается символом и вычисляется по формуле

Определитель третьего порядка — это число

Минором элемента определителя А называется определитель второго порядка, который получается, если в вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента а называется число .

Свойства определителей третьего порядка.

1. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения:

В частности, разлагая определитель по первой строке , получим

2. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, а столбцы — соответствующими строками.

3. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя.

4. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

5. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Вычисление определителя удобно проводить, используя свойства 1, 3 и 6.

Пример 1. Вычислить определитель

Решение. Вынесем за знак определителя общий множитель 2 элементов второй строки, после чего прибавим к первой строке вторую, а к третьей — вторую, умноженную на —2. В результате имеем

Прибавляя ко второму столбцу последнего определителя третий столбец, умноженный на —2, и записывая после этого разложение по первой строке, получим

Определитель порядка n — это число, которое задается квадратной таблицей чисел, имеющей строк и столбцов:

где — элементы определителя

Теория определителей порядка строится аналогично теории определителей третьего порядка. В частности, определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на их алгебраические дополнения:

Алгебраические дополнения определяются формулой где — минор элемента (определитель порядка, получаемый из А путем вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент). Из формул (1) следует, что вычисление определителя порядка сводится к вычислению определителей порядка

Все изложенные выше свойства определителей третьего порядка справедливы и для определителей произвольного порядка.

Пример 2. Вычислить определитель

Решение. Прибавляя к первой строке удвоенную вторую, к третьей — вторую, умноженную на —3, к четвертой — вторую, умноженную на —2, и записывая затем разложение по первому столбцу, получим

Последний определитель вычислен выше (см. пример 1), поэтому искомый определитель четвертого порядка равен 1032.